Hilbert schemes and stable pairs: GIT and derived category wall crossings

Stoppa, Jacopo; Thomas, Richard P.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 3, pp. 297-339.

Nous montrons que le schéma de Hilbert de courbes et l'espace de modules de Le Potier de paires stables à support à une dimension, ont une construction GIT commune. Les deux espaces correspondents aux chambres de par et d'autre d'un mur dans l'espace de linéarisations GIT. Nous expliquons pourquoi cela ne suffit pas pour prouver la « conjecture de croisement de murs DT/PT » qui relie les invariants dérivés de ces espaces de modules quand la variété sous-jacente est un 3-fold. Nous donnons, ensuite, une introduction simple à une petite partie de la théorie de Joyce sur les croisements de murs de ce type, et nous nous en servons pour donner une brève démonstration d'une identité reliant les caractéristiques d'Euler de ces espaces de modules. Quand le 3-fold est de type Calabi-Yau, l'identité est le pendant, pour la caractéristique d'Euler, de la conjecture de croisement de murs DT/PT, mais dans le cas général elle s'avère être différente de celle-ci, comme nous l'expliquons.

We show that the Hilbert scheme of curves and Le Potier's moduli space of stable pairs with one dimensional support have a common GIT construction. The two spaces correspond to chambers on either side of a wall in the space of GIT linearisations. We explain why this is not enough to prove the “DT/PT wall crossing conjecture” relating the invariants derived from these moduli spaces when the underlying variety is a 3-fold. We then give a gentle introduction to a small part of Joyce's theory for such wall crossings, and use it to give a short proof of an identity relating the Euler characteristics of these moduli spaces. When the 3-fold is Calabi-Yau the identity is the Euler-characteristic analogue of the DT/PT wall crossing conjecture, but for general 3-folds it is something different, as we discuss.

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