Why Jordan algebras are natural in statistics: quadratic regression implies Wishart distributions

Letac, G.; Wesołowski, J.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 1, pp. 129-144.

Si l’espace $𝒬$ des formes quadratiques sur ${ℝ}^n$ est décomposé en une somme directe ${𝒬}_1\oplus ...\oplus {𝒬}_k$ et si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes de ${ℝ}^n$, supposons qu’il existe un nombre réel $a$ tel que $E\left(X\right|X+Y)=a(X+Y)$ ainsi que des nombres réels distincts $b_1,...,b_k$ tels que $E\left(q\left(X\right)\right|X+Y)=b_{i}q(X+Y)$ pour tout $q$ de ${𝒬}_i.$ Nous montrons que cela n’arrive que pour $k=2$, que lorsque ${ℝ}^n$ peut être structuré en algèbre de Jordan euclidienne et que lorsque $X$ et $Y$ suivent des lois de Wishart correspondant à cette structure.

If the space $𝒬$ of quadratic forms in ${ℝ}^n$ is splitted in a direct sum ${𝒬}_1\oplus ...\oplus {𝒬}_k$ and if $X$ and $Y$ are independent random variables of ${ℝ}^n$, assume that there exist a real number $a$ such that $E\left(X\right|X+Y)=a(X+Y)$ and real distinct numbers $b_1,...,b_k$ such that $E\left(q\left(X\right)\right|X+Y)=b_{i}q(X+Y)$ for any $q$ in ${𝒬}_i.$ We prove that this happens only when $k=2$, when ${ℝ}^n$ can be structured in a Euclidean Jordan algebra and when $X$ and $Y$ have Wishart distributions corresponding to this structure.

Classification : 60H10, 62H05
Keywords: symmetric cones, random matrices, characterization of Wishart laws
Mot clés : cônes symétriques, matrices aléatoires, caractérisation des lois de Wishart

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