Geometric stability of the cotangent bundle and the universal cover of a projective manifold

Campana, Frédéric; Peternell, Thomas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 1, pp. 41-74.

Nous établissons tout d’abord un renforcement du théorème de semi-positivité de Miyaoka : le déterminant de tout quotient de toute puissance tensorielle du fibré cotangent d’une variété projective $X$ non-uniréglée est pseudo-effectif (au lieu de : génériquement nef). Une première conséquence est que $X$ est de type général si son fibré cotangent a un sous-faisceau dont le déterminant est ‘big’. Parmi diverses applications, nous montrons que si le revêtement universel de $X$ n’est pas recouvert par des sous-ensembles analytiques compacts de dimension strictement positive, alors $X$ est de type général si $\chi \left(O_X\right)\ne 0$.Nous montrons enfin que $K_X$ est $\mathbb{Q}$-effectif si $K_X+L$ l’est, pour un fibré en droites numériqiuement effectif $L$ sur $X$. La démonstration de ce résultat central repose sur les travaux de C. Simpson sur les lieux de Green-Lazarsfeld, et sur les revêtements cycliques de Viehweg. Ce résultat a été récemment étendu aux paires ’Log-canoniques’ en utilisant les mêmes ingrédients.

We first prove a strengthening of Miyaoka’s generic semi-positivity theorem: the quotients of the tensor powers of the cotangent bundle of a non-uniruled complex projective manifold $X$ have a pseudo-effective (instead of generically nef) determinant. A first consequence is that $X$ is of general type if its cotangent bundle contains a subsheaf with ‘big’ determinant. Among other applications, we deduce that if the universal cover of $X$ is not covered by compact positive-dimensional analytic subsets, then $X$ is of general type if $\chi \left(O_X\right)\ne 0$. We finally show that if $L$ is a numerically trivial line bundle on $X$, and if $K_X+L$ is $\mathbb{Q}$-effective, then so is $K_X$ itself. The proof of this result rests on Simpson’s work on jumping loci of numerically trivial line bundles, and Viehweg’s cyclic covers. This last result is central, and has been recently extended, using the very same ingredients, to the case of log-canonical pairs.

Classification : 14J40, 32Q26, 32J27, 14E30
Keywords: bundle, pseudo-effective line bundle, Moishezon-Iitaka-‘Kodaira' dimension, universal cover, uniruledness
Mot clés : fibré stable, fibré en droites pseudo-effectif, dimension de Moishezon-Iitaka-‘Kodaira', revêtement universel, variété uniréglée

[1] S. Boucksom - « Cônes positifs des variétés complexes compactes », thèse de doctorat, Université de Grenoble, 2002.

[2] S. Boucksom, J.-P. Demailly, M. Paun & T. Peternell - « The pseudo-effective cone of a compact Kähler manifold and varieties of negative Kodaira dimension », to appear in J. Alg. Geom., 2011. | MR | Zbl

[3] F. Campana - « Fundamental group and positivity of cotangent bundles of compact Kähler manifolds », J. Algebraic Geom. 4 (1995), p. 487-502. | MR | Zbl

[4] F. Campana, J. A. Chen & T. Peternell - « Strictly nef divisors », Math. Ann. 342 (2008), p. 565-585. | MR | Zbl

[5] F. Campana & Q. Zhang - « Compact Kähler threefolds of ${\pi }_1$-general type », in Recent progress in arithmetic and algebraic geometry, Contemp. Math., vol. 386, Amer. Math. Soc., 2005, p. 1-12. | MR | Zbl

[6] J.-P. Demailly - « Complex analytic and algebraic geometry », http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html.

[7] J.-P. Demailly, T. Peternell & M. Schneider - « Holomorphic line bundles with partially vanishing cohomology », in Proceedings of the Hirzebruch 65 Conference on Algebraic Geometry (Ramat Gan, 1993), Israel Math. Conf. Proc., vol. 9, Bar-Ilan Univ., 1996, p. 165-198. | MR | Zbl

[8] H. Esnault - « Fibre de Milnor d'un cône sur une courbe plane singulière », Invent. Math. 68 (1982), p. 477-496. | MR | Zbl

[9] D. Huybrechts & M. Lehn - The geometry of moduli spaces of sheaves, Aspects of Mathematics, E31, Friedr. Vieweg & Sohn, 1997. | MR | Zbl

[10] Y. Kawamata - « Minimal models and the Kodaira dimension of algebraic fiber spaces », J. reine angew. Math. 363 (1985), p. 1-46. | MR | Zbl

[11] -, « Pluricanonical systems on minimal algebraic varieties », Invent. Math. 79 (1985), p. 567-588. | MR | Zbl

[12] -, « Moderate degenerations of algebraic surfaces », in Complex algebraic varieties (Bayreuth, 1990), Lecture Notes in Math., vol. 1507, Springer, 1992, p. 113-132. | MR | Zbl

[13] J. Kollár - « Shafarevich maps and plurigenera of algebraic varieties », Invent. Math. 113 (1993), p. 177-215. | MR | Zbl

[14] A. Langer - « Semistable sheaves in positive characteristic », Ann. of Math. 159 (2004), p. 251-276. | MR | Zbl

[15] J. Li & S.-T. Yau - « Hermitian-Yang-Mills connection on non-Kähler manifolds », in Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), Adv. Ser. Math. Phys., vol. 1, World Sci. Publishing, 1987, p. 560-573. | MR | Zbl

[16] V. B. Mehta & A. Ramanathan - « Semistable sheaves on projective varieties and their restriction to curves », Math. Ann. 258 (1981/82), p. 213-224. | MR | Zbl

[17] Y. Miyaoka - « Deformations of a morphism along a foliation and applications », in Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 46, Amer. Math. Soc., 1987, p. 245-268. | MR | Zbl

[18] -, « Relative deformations of morphisms and applications to fibre spaces », Comment. Math. Univ. St. Paul. 42 (1993), p. 1-7. | MR | Zbl

[19] Y. Miyaoka & S. Mori - « A numerical criterion for uniruledness », Ann. of Math. 124 (1986), p. 65-69. | MR | Zbl

[20] Y. Miyaoka & T. Peternell - Geometry of higher-dimensional algebraic varieties, DMV Seminar, vol. 26, Birkhäuser, 1997. | MR | Zbl

[21] C. Mourougane - « Théorèmes d'annulation générique pour les fibrés vectoriels semi-négatifs », Bull. Soc. Math. France 127 (1999), p. 115-133. | Numdam | MR | Zbl

[22] Y. Namikawa & J. H. M. Steenbrink - « Global smoothing of Calabi-Yau threefolds », Invent. Math. 122 (1995), p. 403-419. | MR | Zbl

[23] N. I. Shepherd-Barron - « Miyaoka’s theorem on the seminegativity of $T_X$ », Astérisque 211 (1992), p. 103-114. | Zbl

[24] -, « Semi-stability and reduction mod $p$ », Topology 37 (1998), p. 659-664. | MR | Zbl

[25] C. Simpson - « Subspaces of moduli spaces of rank one local systems », Ann. Sci. École Norm. Sup. 26 (1993), p. 361-401. | Numdam | MR | Zbl

[26] E. Viehweg - « Weak positivity and the additivity of the Kodaira dimension for certain fibre spaces », in Algebraic varieties and analytic varieties (Tokyo, 1981), Adv. Stud. Pure Math., vol. 1, North-Holland, 1983, p. 329-353. | MR | Zbl