Birational geometry of quadrics

Totaro, Burt

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 2, pp. 253-276.

Nous construisons de nouvelles applications birationnelles entre quadriques sur un corps. Diverses formes quadratiques sont considérées : les voisines de Pfister, les voisines des multiples d'une forme de Pfister, et les demi-voisines. Un corollaire est la détermination des quadriques réglées (c'est-à-dire birationnelles au produit de la droite projective et d'une variété) en certaines dimensions. Nous décrivons complètement les quadriques réglées lorsque la forme quadratique est de dimension impaire inférieure à 17, de dimension paire inférieure à 10, ou de dimension 14. La preuve utilise un nouveau théorème de structure sur les formes de dimension 14, généralisant le théorème d'Izhboldin sur les formes de dimension 10. Nous montrons également que la forme de Vishik de dimension 16 est réglée.

We construct new birational maps between quadrics over a field. The maps apply to several types of quadratic forms, including Pfister neighbors, neighbors of multiples of a Pfister form, and half-neighbors. One application is to determine which quadrics over a field are ruled (that is, birational to the projective line times some variety) in a larger range of dimensions. We describe ruledness completely for quadratic forms of odd dimension at most 17, even dimension at most 10, or dimension 14. The proof uses a new structure theorem for 14-dimensional forms, generalizing Izhboldin's theorem on 10-dimensional forms. We also show that Vishik's 16-dimensional form is ruled.

Classification : 11E04, 14E05
Keywords: quadratic forms, ruled varieties, birational geometry, quadratic Zariski problem
Mot clés : formes quadratiques, variétés réglées, géométrie birationnelle, problème quadratique de Zariski

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