Quasi-semi-stable representations

Caruso, Xavier; Liu, Tong

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 2, pp. 185-223.

Soient $K$ un corps $p$-adique et $G_K$ son groupe de Galois absolu. Soit $K_{\infty }$ l’extension de $K$ obtenue en ajoutant les racines $p^n$-ièmes d’une uniformisante fixée. Notons $G_{\infty }\subset G_K$ le groupe de Galois absolu de $K_{\infty }$. Dans cet article, on définit une classe de représentations $p$-adiques de torsion du groupe $G_{\infty }$, que l’on appelle quasi-semi-stables. Nous montrons que ces représentations sont « explicitement » décrites via une certaine catégories d'objets d'algèbre linéaire. Les résultats dans cette note doivent être considérés comme une première étape dans l'étude de la structure des représentations qui apparaissent comme quotients de deux réseaux d'une représentation galoisienne cristalline (resp. semi-stable).

Fix $K$ a $p$-adic field and denote by $G_K$ its absolute Galois group. Let $K_{\infty }$ be the extension of $K$ obtained by adding $p^n$-th roots of a fixed uniformizer, and $G_{\infty }\subset G_K$ its absolute Galois group. In this article, we define a class of $p$-adic torsion representations of $G_{\infty }$, called quasi-semi-stable. We prove that these representations are “explicitly” described by a certain category of linear algebraic objects. The results of this note should be considered as a first step in the understanding of the structure of quotient of two lattices in a crystalline (resp. semi-stable) Galois representation.

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