On the structure of triangulated categories with finitely many indecomposables

Amiot, Claire

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 3, pp. 435-474.

Cet article traite du problème de classification des catégories triangulées sur un corps algébriquement clos $k$ dont les espaces de morphismes sont de dimension finie et avec un nombre fini d’indécomposables. Nous obtenons une nouvelle preuve du résultat suivant dû à Xiao et Zhu : le carquois d’Auslander-Reiten d’une telle catégorie $𝒯$ est de la forme $\mathbb{Z}\Delta /G$ où $\Delta$ est une union disjointe de diagrammes de Dynkin simplement lacés et $G$ est un groupe d’automorphismes de $\mathbb{Z}\Delta$ faiblement admissible. Nous montrons ensuite que pour ‘presque’ tous groupes $G$, la catégorie $𝒯$ est standard, c’est-à-dire $k$-linéairement équivalente à une catégorie d’orbites ${𝒟}^b\left(\mathrm{𝗆𝗈𝖽}k\Delta \right)/\Phi$. C’est en particulier le cas lorsque $𝒯$ est maximale $d$-Calabi-Yau avec $d\ge 2$. De plus, si $𝒯$ est standard et algébrique, nous pouvons même construire une équivalence triangulée entre $𝒯$ et la catégorie d’orbites correspondante. Nous donnons finalemant une condition suffisante pour que la catégorie de projectifs d’une catégorie de Frobenius soit triangulée. Cela nous permet de construire des catégories $1$-Calabi-Yau non standard en utilisant les algèbres préprojectives déformées de type Dynkin généralisé.

We study the problem of classifying triangulated categories with finite-dimensional morphism spaces and finitely many indecomposables over an algebraically closed field $k$. We obtain a new proof of the following result due to Xiao and Zhu: the Auslander-Reiten quiver of such a category $𝒯$ is of the form $\mathbb{Z}\Delta /G$ where $\Delta$ is a disjoint union of simply-laced Dynkin diagrams and $G$ a weakly admissible group of automorphisms of $\mathbb{Z}\Delta$. Then we prove that for ‘most’ groups $G$, the category $𝒯$ is standard, i.e. $k$-linearly equivalent to an orbit category ${𝒟}^b\left(modk\Delta \right)/\Phi$. This happens in particular when $𝒯$ is maximal $d$-Calabi-Yau with $d\ge 2$. Moreover, if $𝒯$ is standard and algebraic, we can even construct a triangle equivalence between $𝒯$ and the corresponding orbit category. Finally we give a sufficient condition for the category of projectives of a Frobenius category to be triangulated. This allows us to construct non standard $1$-Calabi-Yau categories using deformed preprojective algebras of generalized Dynkin type.

Classification : 18E30, 16G70
Keywords: locally finite triangulated category, Calabi-Yau category, Dynkin diagram, Auslander-Reiten quiver, orbit category
Mot clés : catégorie triangulée localement finie, catégorie de Calabi-Yau, diagramme de Dynkin, carquois d'Auslander-Reiten, catégorie d'orbites

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