Discrétisation de zeta-déterminants d'opérateurs de Schrödinger sur le tore

Chaumard, Laurent

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 3, pp. 327-355.

Nous donnons ici deux résultats sur le déterminant $\zeta$-régularisé ${det}_{\zeta }A$ d’un opérateur de Schrödinger $A={\Delta }_g+V$ sur une variété compacte $ℳ$. Nous construisons, pour $ℳ=S^1\times S^1$, une suite $(G_n,{\rho }_n,{\Delta }_n)$ où $G_n$ est un graphe fini qui se plonge dans $ℳ$ via ${\rho }_n$ de telle manière que ${\rho }_n\left(G_n\right)$ soit une triangulation de $ℳ$ et où ${\Delta }_n$ est un laplacien discret sur $G_n$ tel que pour tout potentiel $V$ sur $ℳ$, la suite de réels $det({\Delta }_n+V)$ converge après renormalisation vers ${det}_{\zeta }({\Delta }_g+V)$. Enfin, nous donnons sur toute variété riemannienne compacte $(ℳ,g)$ de dimension inférieure ou égale à $3$ et de groupe d’isométries transitif, un majorant du déterminant ${det}_{\zeta }({\Delta }_g+V)$, lorsque le potentiel $V$ est positif.

We propose two results concerning the $\zeta$-regularised determinant ${det}_{\zeta }A$ of a Schrödinger operator $A={\Delta }_g+V$ on a compact riemannian manifold $(ℳ,g)$. For $ℳ=S^1\times S^1$, we construct a sequence $(G_n,{\rho }_n,{\Delta }_n)$ where $G_n$ is a finite graph injected in $ℳ$ via ${\rho }_n$, in such a way that ${\rho }_n\left(G_n\right)$ triangulates $ℳ$. ${\Delta }_n$ is a discrete laplacian on $G_n$ so that for every potential $V$ on $ℳ$, the sequence $det({\Delta }_n+V)$ converges, after normalisation, to ${det}_{\zeta }({\Delta }_g+V)$. Last, we give on every riemannian compact manifold $(ℳ,g)$ whose dimension is less than or equal to $3$ and with a transitiv isometry group, the maximum of the determinant ${det}_{\zeta }({\Delta }_g+V)$.

Classification : 53B21, 53C24, 94C15, 53A35, 58J40, 58J50
Mots clés : déterminant zeta-régularisé, théorie spectrale des graphes et des surfaces, discrétisation, fonction zeta, opérateur de schrödinger, opérateurs pseudo-différentiels, géométrie riemannienne

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