Perte de régularité pour les équations d'ondes sur-critiques

Lebeau, Gilles

doi:10.24033/bsmf.2482

Lebeau, Gilles

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 1, pp. 145-157.

Résumé
Abstract

On prouve que le problème de Cauchy local pour l’équation d’onde sur-critique dans $ℝ^{d}$ , $□ u + u^{p} = 0$ , $p$ impair, avec $d \geq 3$ et $p > (d + 2) / (d - 2)$ , est mal posé dans $H^{σ}$ pour tout $σ \in] 1, σ_{crit} [$ , où $σ_{crit} = d / 2 - 2 / (p - 1)$ est l’exposant critique.

We prove that the local Cauchy problem for the supercritical wave equation in $ℝ^{d}$ , $□ u + u^{p} = 0$ , with $d \geq 3$ , $p > 3$ and $p > (d + 2) / (d - 2)$ , is ill-posed in $H^{σ}$ for every $σ \in] 1, σ_{c} [$ , where $σ_{c} = d / 2 - 2 / (p - 1)$ is the critical exponent.

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DOI : 10.24033/bsmf.2482

Classification : 35L05, 35L15
Mot clés : analyse microlocale, équations d'ondes non-linéaires
Keywords: microlocal analysis, nonlinear wave equations

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Lebeau, Gilles. Perte de régularité pour les équations d'ondes sur-critiques. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 1, pp. 145-157. doi : 10.24033/bsmf.2482. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2482/

Bibliographie
Cité par

[1] P. Brenner & W. Von Wahl - « Global classical solutions of non-linear wave equations », Math. Z. 176 (1981), p. 87-121. | MR | Zbl

[2] J. Ginibre & G. Velo - « The global Cauchy problem for the non linear Klein-Gordon equation », Math.Z. 189 (1985), p. 487-505. | MR | Zbl

[3] H. Hochstadt - « On the Determination of a Hill's Equation from its Spectrum », Arch. Rat. Mech. Anal. 19 (1965), p. 353-362. | MR | Zbl

[4] K. Jörgens - « Das Anfangswertproblem in Grossen fur eine Klasse nichtlinearer Wellingleichungen », Math. Z. 77 (1961), p. 295-308. | MR | Zbl

[5] G. Lebeau - « Non linear optic and supercritical wave equation », Bull. Soc. Math. Liège 70 (2001), p. 267-306. | MR | Zbl

[6] J.-L. Lions - Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non-linéaires, Dunod Gauthier-Villars, Paris, 1969. | MR | Zbl

[7] I. Segal - « The Global Cauchy Problem for a Relativistic Scalar Field with Power Interaction », Bull. Soc. Math. France 91 (1963), p. 129-135. | Numdam | MR | Zbl

[8] J. Shatah & M. Struwe - « Well-Posedness in the Energy Space for Semilinear Wave Equation with Critical Growth », I.M.R.N. 7 (1994), p. 303-309. | MR | Zbl

[9] W. Strauss - « Nonlinear invariant wave equations », Invariant wave equations (Proc. “Ettore Majorana” Internat. School of Math. Phys., Erice, 1977), Lecture Notes in Phys., vol. 73, Springer, 1978, p. 197-249. | MR

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