Hauteur des correspondances de Hecke

Autissier, Pascal

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 3, pp. 421-433.

L’objectif de cet article est de mesurer la complexité arithmétique de la courbe modulaire $X_0\left(N\right)$ en fonction du niveau $N$. Pour ce faire, on utilise un morphisme fini (de degré 1 sur son image) de $X_0\left(N\right)$ vers une variété fixe $X\left(1\right)\times X\left(1\right)$ et on calcule la hauteur au sens d’Arakelov de l’image $T_N$ de ce morphisme. La hauteur employée est directement reliée à la hauteur de Faltings des courbes elliptiques. On a besoin pour cela de considérer une théorie d’Arakelov pour les faisceaux inversibles hermitiens $L_1^2$-singuliers (au lieu de $C^{\infty }$ classiquement). On en déduit des résultats sur la hauteur (de Faltings) de courbes elliptiques isogènes, ainsi que sur des moyennes de hauteurs de courbes elliptiques à multiplication complexe (i.e. une formule de Kronecker arithmétique).

The goal of this paper is the measure of the arithmetic complexity of the modular curve $X_0\left(N\right)$, as a function of the level $N$. For this, we use a finite morphism (of degree 1 over its image) from $X_0\left(N\right)$ to a fixed variety $X\left(1\right)\times X\left(1\right)$, and we calculate the (Arakelov) height of the image $T_N$ of this morphism. This height is related to the Faltings height of elliptic curves. For this, we need to consider an Arakelov theory for $L_1^2$-singular hermitian line bundles (instead of $C^{\infty }$ ones classically). As an application, we find results on the (Faltings) height of isogenous elliptic curves, and on averages of heights of CM elliptic curves (i.e. an arithmetic Kronecker formula).

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