Dimension of weakly expanding points for quadratic maps

Senti, Samuel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 3, pp. 399-420.

Pour l’application quadratique réelle $P_a\left(x\right)=x^2+a$ et un $ϵ>0$ donné, un point $x$ a de bonnes propriétés de dilatation si tout intervale contenant $x$ contient également un voisinage $J$ de $x$ avec $P_a^n{|}_J$ univalent, avec distortion bornée et $B(0,ϵ)\subseteq P_a^n\left(J\right)$ pour un $n\in \mathbb{N}$. L’ensemble $ϵ$-faiblement dilatant est l’ensemble des points qui n’ont pas de bonnes propriétes de dilatation. Notons $\alpha$ le point fixe négatif et $M$ le temps de premier retour de l’orbite critique dans $[\alpha ,-\alpha ]$. Nous prouvons l’existence d’un ensemble $ℛ$ de paramètres de mesure de Lebesgue positive pour lesquels la dimension de Hausdorff de l’ensemble $ϵ$-faiblement dilatant est bornée supérieurement et inférieurement par ${log}_{2}M/M+𝒪({log}_2{log}_{2}M/M)$ si $ϵ$ est proche de $\left|\alpha \right|$. Pour $ϵ\le \left|\alpha \right|$ quelconque la dimension est de l’ordre de $𝒪({log}_2|{log}_2ϵ|/|{log}_2ϵ|).$ Les constantes ne dependent que de $M$. Le théorème du Folklore implique alors l’existence d’une mesure de probabilité absolument continue et invariante par $P_a$ pour $a\in ℛ$ (théorème de Jakobson).

For the real quadratic map $P_a\left(x\right)=x^2+a$ and a given $ϵ>0$ a point $x$ has good expansion properties if any interval containing $x$ also contains a neighborhood $J$ of $x$ with $P_a^n{|}_J$ univalent, with bounded distortion and $B(0,ϵ)\subseteq P_a^n\left(J\right)$ for some $n\in \mathbb{N}$. The $ϵ$-weakly expanding set is the set of points which do not have good expansion properties. Let $\alpha$ denote the negative fixed point and $M$ the first return time of the critical orbit to $[\alpha ,-\alpha ]$. We show there is a set $ℛ$ of parameters with positive Lebesgue measure for which the Hausdorff dimension of the $ϵ$-weakly expanding set is bounded above and below by ${log}_{2}M/M+𝒪({log}_2{log}_{2}M/M)$ for $ϵ$ close to $\left|\alpha \right|$. For arbitrary $ϵ\le \left|\alpha \right|$ the dimension is of the order of $𝒪({log}_2|{log}_2ϵ|/|{log}_2ϵ|).$ Constants depend only on $M$. The Folklore Theorem then implies the existence of an absolutely continuous invariant probability measure for $P_a$ with $a\in ℛ$ (Jakobson’s Theorem).

Classification : 37E05, 37D25, 37D45, 37C45
Keywords: quadratic map, Jakobson's theorem, Hausdorff dimension, Markov partition, Bernoulli map, induced expansion, absolutely continuous invariant probability measure
Mot clés : application quadratique, théorème de Jakobson, dimension de Hausdorff, partition de Markov, application de Bernoulli, expansion induite, mesure de probabilité invariante absolument continue

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