Relative exactness modulo a polynomial map and algebraic $(\mathbb {C}^p , +)$-actions

Bonnet, Philippe

doi:10.24033/bsmf.2447

Relative exactness modulo a polynomial map and algebraic

(ℂ^{p}, +)

-actions
[Exactitude relative modulo une application polynomiale et actions algébriques de

(ℂ^{p}, +)

]

Bonnet, Philippe

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 3, pp. 373-398.

Résumé
Abstract

Soit $F = (f_{1}, ..., f_{q})$ une application polynomiale dominante de $ℂ^{n}$ dans $ℂ^{q}$ . Nous étudions le quotient $𝒯^{1} (F)$ des 1-formes polynomiales qui sont exactes le long des fibres génériques de $F$ , par les 1-formes du type $d R + \sum a_{i} d f_{i}$ , où $R, a_{1}, ..., a_{q}$ sont des polynômes. Nous montrons que $𝒯^{1} (F)$ est toujours un $ℂ [t_{1}, ..., t_{q}]$ -module de torsion. Nous déterminons ensuite sous quelles conditions sur $F$ ce module est réduit à zéro. En application, nous étudions le comportement d’une classe d’actions algébriques de $(ℂ^{p}, +)$ sur $ℂ^{n}$ , et nous déterminons en particulier quand ces actions sont triviales.

Let $F = (f_{1}, ..., f_{q})$ be a polynomial dominating map from $ℂ^{n}$ to $ℂ^{q}$ . We study the quotient $𝒯^{1} (F)$ of polynomial 1-forms that are exact along the generic fibres of $F$ , by 1-forms of type $d R + \sum a_{i} d f_{i}$ , where $R, a_{1}, ..., a_{q}$ are polynomials. We prove that $𝒯^{1} (F)$ is always a torsion $ℂ [t_{1}, ..., t_{q}]$ -module. Then we determine under which conditions on $F$ we have $𝒯^{1} (F) = 0$ . As an application, we study the behaviour of a class of algebraic $(ℂ^{p}, +)$ -actions on $ℂ^{n}$ , and determine in particular when these actions are trivial.

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2447

Classification : 14R20, 14R25
Keywords: affine geometry, relative cohomology, invariant theory
Mot clés : géométrie affine, cohomologie relative, théorie des invariants

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Bonnet, Philippe. Relative exactness modulo a polynomial map and algebraic $(\mathbb {C}^p , +)$-actions. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 3, pp. 373-398. doi : 10.24033/bsmf.2447. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2447/

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