Focusing of a pulse with arbitrary phase shift for a nonlinear wave equation

Carles, Rémi; Lannes, David

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 2, pp. 289-306.

Nous considérons un système de deux équations des ondes linéaires conservatives, couplées non-linéairement, en dimension trois d’espace. Pour des données initiales radiales de type impulsions courtes, les solutions focalisent à l’origine lorsque la longueur d’onde tend vers zéro. Le caractère conservatif de l’équation fait que la traversée de la caustique n’est pas triviale : nous l’analysons pour des données initiales particulières. Il ressort que le déphasage entre l’onde entrante (avant focalisation) et l’onde sortante (après focalisation) se comporte en $ln\epsilon$, où $\epsilon$ représente la longueur d’onde.

We consider a system of two linear conservative wave equations, with a nonlinear coupling, in space dimension three. Spherical pulse like initial data cause focusing at the origin in the limit of short wavelength. Because the equations are conservative, the caustic crossing is not trivial, and we analyze it for particular initial data. It turns out that the phase shift between the incoming wave (before the focus) and the outgoing wave (past the focus) behaves like $ln\epsilon$, where $\epsilon$ stands for the wavelength.

Classification : 35B40, 35L70, 35P25
Keywords: nonlinear geometric optics, short pulses, caustic, long range scattering
Mot clés : optique géométrique non-linéaire, impulsions courtes, caustique, scattering longue portée

[1] D. Alterman & J. Rauch - « Nonlinear geometric optics for short pulses », 178 (2002), no. 2, p. 437-465. | MR | Zbl

[2] R. Carles - « Geometric optics with caustic crossing for some nonlinear Schrödinger equations », 49 (2000), no. 2, p. 475-551. | MR | Zbl

[3] -, « Geometric optics and long range scattering for one-dimensional nonlinear Schrödinger equations », 220 (2001), no. 1, p. 41-67. | MR | Zbl

[4] R. Carles & J. Rauch - « Focusing of Spherical Nonlinear Pulses in ${ℝ}^{1+3}$, II. Nonlinear Caustic », to appear in Rev. Mat. Iberoamericana. | MR | Zbl

[5] -, « Absorption d’impulsions non linéaires radiales focalisantes dans ${ℝ}^{1+3}$ », 332 (2001), no. 11, p. 985-990. | MR | Zbl

[6] -, « Diffusion d’impulsions non linéaires radiales focalisantes dans ${ℝ}^{1+3}$ », 332 (2001), no. 12, p. 1077-1082. | MR | Zbl

[7] -, « Focusing of spherical nonlinear pulses in ${ℝ}^{1+3}$ », 130 (2002), no. 3, p. 791-804. | MR | Zbl

[8] -, « Focusing of Spherical Nonlinear Pulses in ${ℝ}^{1+3}$, III. Sub and Supercritical cases » », Preprint, 2002. | MR | Zbl

[9] J. Duistermaat - « Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding of singularities », 27 (1974), p. 207-281. | MR | Zbl

[10] J. Hunter & J. Keller - « Caustics of nonlinear waves », Wave motion 9 (1987), p. 429-443. | MR | Zbl

[11] J.-L. Joly, G. Métivier & J. Rauch - « Focusing at a point and absorption of nonlinear oscillations », 347 (1995), no. 10, p. 3921-3969. | MR | Zbl

[12] -, « Several recent results in nonlinear geometric optics », Partial differential equations and mathematical physics (Copenhagen, 1995; Lund, 1995), Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1996, p. 181-206. | MR | Zbl

[13] -, Caustics for dissipative semilinear oscillations, vol. 144, no.685, American Mathematical Society, Providence, 2000. | MR

[14] P. Lax - « Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems », 24 (1957), p. 627-646. | MR | Zbl

[15] D. Ludwig - « Uniform asymptotic expansions at a caustic », 19 (1966), p. 215-250. | MR | Zbl