Symmetries of the nonlinear Schrödinger equation

Grébert, Benoît; Kappeler, Thomas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 603-618.

Les symétries de l’équation de Schrödinger nonlinéaire sont exprimées dans les variables action-angles et caractérisées à l’aide du spectre périodique et du spectre de Dirichlet du système de Zakharov-Shabat associé. Comme application, nous démontrons la conjecture suivante : le spectre périodique $\cdots <{\lambda }_k^{-}\le {\lambda }_k^{+}<{\lambda }_{k+1}^{-}\le \cdots$ de l’opérateur de Zakharov-Shabat est symétrique, i.e. ${\lambda }_k^{\pm }=-{\lambda }_{-k}^{\mp }$ pour tout $k$, si et seulement si la suite ${\left({\gamma }_k\right)}_{k\in \mathbb{Z}}$ des longueurs des intervalles d’instabilité, ${\gamma }_k:={\lambda }_k^{+}-{\lambda }_k^{-}$, est symétrique par rapport à $k=0$.

Symmetries of the defocusing nonlinear Schrödinger equation are expressed in action-angle coordinates and characterized in terms of the periodic and Dirichlet spectrum of the associated Zakharov-Shabat system. Application: proof of the conjecture that the periodic spectrum $\cdots <{\lambda }_k^{-}\le {\lambda }_k^{+}<{\lambda }_{k+1}^{-}\le \cdots$ of a Zakharov-Shabat operator is symmetric, i.e. ${\lambda }_k^{\pm }=-{\lambda }_{-k}^{\mp }$ for all $k$, if and only if the sequence ${\left({\gamma }_k\right)}_{k\in \mathbb{Z}}$ of gap lengths, ${\gamma }_k:={\lambda }_k^{+}-{\lambda }_k^{-}$, is symmetric with respect to $k=0$.

Classification : 35Q55, 37K10, 37L20, 34A55
Keywords: NLS equation, Zakharov-Shabat operators, action-angle variables, symmetries
Mot clés : Équation NLS, opérateur de Zakharov-Shabat, variables action-angles, symétries

[1] J. Bourgain - « Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equations », GAFA 3 (1993), p. 107-156. | MR | Zbl

[2] L. Faddeev & L. Takhtajan - Hamiltonian methods in the theory of solitons, Springer, 1987. | MR | Zbl

[3] B. Grébert - « Problèmes spectraux inverses pour les systèmes AKNS sur la droite réelle », Thèse, Université Paris-Nord, 1990.

[4] B. Grébert & J. Guillot - « Gaps of one dimensional periodic AKNS systems », Forum Math 5 (1993), p. 459-504. | MR | Zbl

[5] B. Grébert & T. Kappeler - « Perturbations of the NLS equation », to appear in Milan J. of Math. | MR | Zbl

[6] -, « Théorème de type KAM pour l'équation de Schrödinger non linéaire », 327 (1998), p. 473-478. | MR | Zbl

[7] B. Grébert, T. Kappeler & J. Pöschel - « Normal form theory for NLS », preliminary version available (please contact authors).

[8] H. Mckean & K. Vaninsky - « Action-angle variables for the cubic Schrödinger equation », CPAM 50 (1997), p. 489-562. | MR | Zbl