On the size of the sets of gradients of bump functions and starlike bodies on the Hilbert space

Azagra, Daniel; Jiménez-Sevilla, Mar

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 3, pp. 337-347.

On étudie la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses sur l’espace de Hilbert ${\ell }_2$, ainsi que celle de l’ensemble des hyperplans tangents à un corps étoilé dans ${\ell }_2$. On trouve que ces ensembles peuvent être assez petits. D’un côté, la norme de l’espace de Hilbert peut s’approximer uniformément par des fonctions de classe $C^1$ et lipschitziennes $\psi$ telles que les cônes générés par les images des dérivées ${\psi }^{\text{'}}\left({\ell }_2\right)$ sont d’intérieur vide. Cela entraîne l’existence de fonctions de classe $C^1$ et lipschitziennes dont les cônes générés par les images des dérivées sont d’intérieur vide. On construit d’autre part des corps étoilés bornés lisses de classe $C^1$ et lipschitziens dont les cônes générés par leurs hyperplans tangents sont d’intérieur vide. On montre aussi pourquoi ces résultats constituent la meilleure réponse à ces questions que l’on puisse espérer.

We study the size of the sets of gradients of bump functions on the Hilbert space ${\ell }_2$, and the related question as to how small the set of tangent hyperplanes to a smooth bounded starlike body in ${\ell }_2$ can be. We find that those sets can be quite small. On the one hand, the usual norm of the Hilbert space ${\ell }_2$ can be uniformly approximated by $C^1$ smooth Lipschitz functions $\psi$ so that the cones generated by the ranges of its derivatives ${\psi }^{\text{'}}\left({\ell }_2\right)$ have empty interior. This implies that there are $C^1$ smooth Lipschitz bumps in ${\ell }_2$ so that the cones generated by their sets of gradients have empty interior. On the other hand, we construct $C^1$-smooth bounded starlike bodies $A\subset {\ell }_2$, which approximate the unit ball, so that the cones generated by the hyperplanes which are tangent to $A$ have empty interior as well. We also explain why this is the best answer to the above questions that one can expect.

Classification : 46B20, 58B99
Keywords: gradient, bump function, starlike body
Mot clés : dérivées, hyperplans tangents, fonctions bosses, corps étoilés

[1] D. Azagra & R. Deville - « James' theorem fails for starlike bodies », J. Funct. Anal. 180 (2001), p. 328-346. | MR | Zbl

[2] D. Azagra & M. Jiménez-Sevilla - « The failure of Rolle's theorem in infinite dimensional Banach spaces », J. Funct. Anal. 182 (2001), p. 207-226. | MR | Zbl

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[4] R. Deville, G. Godefroy & V. Zizler - Smoothness and renormings in Banach spaces, Monographies and Surveys in Pure and Applied Math., vol. 64, Pitman, 1993. | MR | Zbl

[5] J. Ferrer - « Rolle's theorem for polynomials of degree four in a Hilbert space », J. Math. Anal. Appl. 265 (2002), no. 2, p. 322-331. | MR | Zbl

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[9] R. Phelps - Convex functions, monotone operators and differentiability, Lecture Notes in Math., vol. 1364, Springer-Verlag, Berlin, 1989. | MR | Zbl

[10] S. Shkarin - « On Rolle's theorem in infinite-dimensional Banach spaces », Mat. Zametki 51 (1992), no. 3, p. 128-136, English transl. | MR | Zbl