Proof of Nadel’s conjecture and direct image for relative $K$-theory

Berthomieu, Alain

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 2, pp. 253-307.

On construit un groupe de $K$-théorie relative pour les fibrés holomorphes ou algébriques sur une variété complexe compacte ou quasiprojective, et des classes caractéristiques de type de Chern-Simons sont définies sur ce groupe dans l’esprit de Nadel. Dans le cas projectif, on démontre la coïncidence de ces classes avec l’image par l’application d’Abel-Jacobi des classes de Chern des fibrés. On donne quelques applications aux familles de fibrés holomorphes et on démontre deux théorèmes de type Riemann-Roch pour ces classes.

A “relative” $K$-theory group for holomorphic or algebraic vector bundles on a compact or quasiprojective complex manifold is constructed, and Chern-Simons type characteristic classes are defined on this group in the spirit of Nadel. In the projective case, their coincidence with the Abel-Jacobi image of the Chern classes of the bundles is proved. Some applications to families of holomorphic bundles are given and two Riemann-Roch type theorems are proved for these classes.

Classification : 19E20, 14C17, 19L10, 14C40, 14C30, 32J25, 14D20
Keywords: relative $K$-theory, holomorphic bundles, characteristic classes, Hodge-Deligne cohomology, Chern-Simons forms, Riemann-Roch theorem
Mot clés : $K$-théorie relative, fibrés holomorphes, classes caractéristiques, cohomologie de Hodge-Deligne, formes de Chern-Simons, théorème de Riemann-Roch

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