Mesures semi-classiques et croisement de modes

Fermanian-Kammerer, Clotilde; Gérard, Patrick

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1, pp. 123-168.

L’étude de la dynamique semi-classique d’électrons dans un cristal débouche naturellement sur le problème de l’évolution des mesures semi-classiques en présence d’un croisement de modes. Dans ce travail, nous étudions un système $2\times 2$ qui présente un tel croisement. À cet effet, nous introduisons des mesures semi-classiques à deux échelles qui décrivent comment la transformée de Wigner usuelle se concentre sur l’ensemble des trajectoires rencontrant ce croisement. Puis nous établissons des formules explicites de type Landau-Zener reliant les traces de ces mesures de part et d’autre du croisement.

Semiclassical study of multidimensional crystals leads naturally to the following question: how do semi-classical measures propagate through energy level crossings ? In this contribution, we discuss a simple $2\times 2$ system which displays such a crossing. For that purpose, we introduce two-scaled semi-classical measures, which describe how the usual Wigner transforms are concentrating on trajectories passing through the crossing points. Then we derive explicit formulae for the branching of such measures. These formulae are generalizations of the so-called Landau-Zener formulae.

Classification : 35B27, 35L, 35Q40
Mot clés : mesures semi-classiques (de Wigner), valeurs propres de multiplicité variable, formule de Landau-Zener, convergence à deux échelles
Keywords: semi-classical (Wigner) measures, eigenvalues of variable multiplicity, Landau-Zener formula, two scales convergence

[1] S. Alinhac - « Branching of singularities for a class of hyperbolic operators », Indiana Univ. Math. J. 27 (1978), no. 6, p. 1027-1037. | MR | Zbl

[2] S. Alinhac & P. Gérard - Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, InterÉditions-Éditions du CNRS, 1991. | Zbl

[3] A. Calderón & R. Vaillancourt - « On the boundedness of pseudo-differential operators », J. Math. Soc. Japan 23 (1971), no. 2, p. 374-378. | MR | Zbl

[4] Y. Colin De Verdière - « Sur les singularités de Van Hove génériques », Analyse globale et physique mathématique (Lyon, 1989), Mém. Soc. Math. France (N.S.), vol. 46, 1991, p. 99-109. | Numdam | MR | Zbl

[5] Y. Colin De Verdière, M. Lombardi & J. Pollet - « The microlocal Landau-Zener formula », Ann. Inst. Henri Poincaré 71 (1999), no. 1, p. 95-127. | Numdam | MR | Zbl

[6] A. Cordoba & C. Fefferman - « Wave packets and Fourier integral operators », Comm. Part. Diff. Eq. 3 (1978), p. 979-1005. | MR | Zbl

[7] C. Fermanian Kammerer - « Mesures semi-classiques deux-microlocales », C. R. Acad. Sci. Paris, Série 1 Math. 331 (2000), p. 515-518. | MR | Zbl

[8] P. Gérard - « Mesures semi-classiques et ondes de Bloch », Séminaire E.D.P. de l'École polytechnique, exposé No. XVI, 1991. | Numdam | MR | Zbl

[9] -, « Microlocal defect measures », Comm. Part. Diff. Eq. 16 (1991), p. 1761-1794. | MR

[10] P. Gérard & E. Leichtnam - « Ergodic Properties of Eigenfunctions for the Dirichlet Problem », Duke Math. J. 71 (1993), p. 559-607. | MR | Zbl

[11] P. Gérard, P. Markowich, N. Mauser & F. Poupaud - « Homogenization Limits and Wigner Transforms », Comm. Pure Appl. Math. 50 (1997), no. 4, p. 323-379. | MR | Zbl

[12] G. Hagedorn - « Proof of the Landau-Zener formula in an adiabatic limit with small eigenvalue gaps », Commun. Math. Phys. 136 (1991), p. 433-449. | MR | Zbl

[13] -, Molecular Propagation through Electron Energy Level Crossings, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 111 no 536, American Mathematical Society, 1994. | MR | Zbl

[14] G. Hagedorn & A. Joye - « Landau-Zener transitions through small electronic eigenvalue gaps in the Born-Oppenheimer approximation », Ann. Inst. Henri Poincaré 68 (1998), no. 1, p. 85-134. | Numdam | MR | Zbl

[15] S. Helgason - Differential geometry, Lie groups and symetric spaces, Academic Press, 1978. | MR | Zbl

[16] L. Hörmander - The analysis of linear Partial Differential Operators III, Springer-Verlag, 1985. | Zbl

[17] I. Hwang - « The $L^2$ boundedness of pseudo-differential operators », Trans. Amer. Math. Soc. 302 (1987), p. 55-76. | MR | Zbl

[18] A. Joye - « Proof of the Landau-Zener formula », Asymptotic Analysis 9 (1994), p. 209-258. | MR | Zbl

[19] N. Kaidi & M. Rouleux - « Forme normale d'un hamiltonien à deux niveaux près d'un point de branchement (limite semi-classique) », C. R. Acad. Sci. Paris, Série I Math 317 (1993), no. 4, p. 359-364. | MR | Zbl

[20] L. Landau - Collected papers of L. Landau, Pergamon Press, 1965.

[21] P.-L. Lions & T. Paul - « Sur les mesures de Wigner », Revista Mat. Iberoamericana 9 (1993), p. 553-618. | MR | Zbl

[22] P. Markowich, N. Mauser & F. Poupaud - « A Wigner function approach to semi-classical limits : electrons in a periodic potential », J. Math. Phys. 35 (1994), p. 1066-1094. | MR | Zbl

[23] L. Miller - « Propagation d'onde semi-classiques à travers une interface et mesures 2-microlocales », Thèse, École Polytechnique, 1996.

[24] -, « Refraction of high-frequency waves density by sharp interfaces and semiclassical measures at the boundary », J. Math. Pures Appl. 79 (2000), p. 227-269. | MR | Zbl

[25] F. Nier - « A Semi-Classical Picture of Quantum Scattering » 29 (1996), p. 149-183. | Numdam | MR | Zbl

[26] F. Poupaud & C. Ringhofer - « Semi-classical limits in a crystal with exterior potentials and effective mass theorems », Comm. Part. Diff. Eq. 21 (1996), no. 11-12, p. 1897-1918. | MR | Zbl

[27] D. Robert - Autour de l'approximation semi-classique, Birkhaüser, 1983. | MR | Zbl

[28] M. Rouleux - « Tunneling effects for $h$ pseudodifferential operators, Feshbach resonances, and the Born-Oppenheimer approximation », Evolution equations, Feshbach resonances, singular Hodge theory, Math. Top., vol. 16, Wiley-VCH, Berlin, 1999, p. 131-242. | MR | Zbl

[29] C. Zener - « Non-adiabatic crossing of energy levels », Proc. Roy. Soc. Lond. 137 (1932), p. 696-702. | JFM | Zbl