Structure du groupe de Grothendieck équivariant d'une courbe et modules galoisiens

Borne, Niels

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1, pp. 101-121.

Cet article est consacré à l’étude de la structure d’anneau du groupe de Grothendieck équivariant d’une courbe projective munie d’une action d’un groupe fini. On explicite cette structure en introduisant un groupe de classes de cycles à coefficients dans les caractères et une notion d’auto-intersection pour ces cycles. De ce résultat, on déduit une expression de la caractéristique d’Euler équivariante d’un $G$-faisceau.

This article is devoted to the study of the ring structure of the equivariant Grothendieck group of a projective curve provided with an action of a finite group. We make this structure explicit thanks to the introduction of a group of cycle classes with coefficients in the characters and a notion of self-intersection for theses cycles. From this result, we deduce an expression for the equivariant Euler characteristic of a $G$-sheaf.

Classification : 14H37, 14L30, 14C40
Mot clés : automorphismes des courbes, actions de groupes sur des variétés ou des schémas, théorèmes de Riemann-Roch
Keywords: automorphisms of curves, group actions on varieties or schemes, Riemann-Roch theorems

[1] A. Borel & J.-P. Serre - « Le théorème de Riemann-Roch », Bull. Soc. Math. France 86 (1958), p. 97-136. | Numdam | MR | Zbl

[2] N. Borne - « Une formule de Riemann-Roch équivariante pour les courbes », Preprint, 1999. | MR | Zbl

[3] G. Ellingsrud & K. Lønsted - « An equivariant Lefschetz formula for finite reductive groups », Math. Ann. 251 (1980), p. 253-261. | MR | Zbl

[4] W. Fulton & S. Lang - Riemann-Roch algebra, Grund. Math. Wissen., vol. 277, Springer-Verlag, 1985. | MR | Zbl

[5] R. Hartshorne - Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. | MR | Zbl

[6] B. Köck - « Das Adams-Riemann-Roch-Theorem in der höheren äquivarianten $K$-Theorie », J. reine angew. Math. 421 (1991), p. 189-217. | MR | Zbl

[7] -, « The Grothendieck-Riemann-Roch theorem for group schemes actions », Ann. Sci. École Norm. Sup. 4-31 (1998), p. 415-458. | Numdam | MR | Zbl

[8] K. Lønsted - « On $G$-line bundles and $K_G\left(X\right)$ », J. Math. Kyoto Univ. 4-23 (1983), p. 775-793.

[9] J. I. Manin - « Lectures on the $K$-functor in algebraic geometry », russian : Uspehi Mat. Nauk 5-24 (1969), p. 3-86, english : Russ. Math. Surv., t.5-24 (1969), pp.1-89. | MR | Zbl

[10] S. Nakajima - « Galois module structure of cohomology groups for tamely ramified coverings of algebraic varieties », J. Number Theory 22 (1986), p. 115-123. | MR | Zbl

[11] D. Quillen - « Higher algebraic $K$-theory. I », Algebraic $K$-theory, (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Washington, 1972), Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer, Berlin, 1973, p. 85-147. | MR | Zbl

[12] J.-P. Serre - Représentations linéaires des groupes finis, Hermann, Paris, 1971. | Zbl

[13] R. Thomason - « Algebraic $K$-theory of group scheme actions », Algebraic topology and algebraic $K$-theory (Princeton, N.J., 1983), Ann. Math. Stud., vol. 113, University Press, Princeton, NJ, 1987, p. 539-563. | MR | Zbl