Exceptional times for percolation  under exclusion dynamics

Garban, Christophe; Vanneuville, Hugo

doi:10.24033/asens.2383

Exceptional times for percolation under exclusion dynamics
[Temps exceptionnels pour la percolation dynamique sous exclusion]

Garban, Christophe ; Vanneuville, Hugo

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 52 (2019) no. 1, pp. 1-57.

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Résumé
Abstract

Cet article porte sur une version conservative du modèle de la percolation dynamique introduit par Häggström, Peres et Steif dans [10]. Le modèle se définit simplement de la façon suivante : on tire une configuration de percolation initiale $ω (t = 0)$ . Puis, on fait évoluer cette configuration selon un processus d'exclusion simple de noyau symétrique $K (x, y)$ . On commence par une étude générale (en suivant [10]) du processus $t \mapsto ω_{K} (t)$ que l'on appelle percolation dynamique sous $K$ -exclusion. Nous analysons ensuite de façon détaillée le cas bi-dimensionnel au point critique (à la fois pour le réseau triangulaire et pour le réseau $ℤ^{2}$ ) pour des noyaux en loi de puissance $K^{α}$

K^{α} (x, y) \propto \frac{1}{{∥ x - y ∥}_{2}^{2 + α}} .

Nous montrons que si l'exposant

α > 0

est suffisamment petit, il existe des temps exceptionnels

t

pour lesquels une composante connexe infinie se forme dans

ω_{K^{α}} (t)

. (Pour la percolation par site sur réseau triangulaire, on montre que cela se produit pour tout

α < α_{0} = \frac{217}{816}

). L'existence de tels temps exceptionnels pour la percolation dynamique standard i.i.d. (où les sites évoluent selon des processus de Poisson indépendants) remonte au travail de Schramm-Steif [25]. Afin de contrôler la dynamique ci-dessus du type

K

-exclusion, on approfondit l'analyse spectrale de la sensibilité au bruit sous exclusion initiée dans le travail [3]. (Travail qui est en quelque sorte l'analogue conservatif du papier précurseur par Benjamini-Kalai-Schramm [1] sur la sensibilité au bruit i.i.d.). Le cas du processus d'exclusion simple au plus proche voisin, correspondant au cas limite

α = + \infty

, reste entièrement ouvert.

We analyze in this paper a conservative analog of the celebrated model of dynamical percolation introduced by Häggström, Peres and Steif in [10]. It is simply defined as follows: start with an initial percolation configuration $ω (t = 0)$ . Let this configuration evolve in time according to a simple exclusion process with symmetric kernel $K (x, y)$ . We start with a general investigation (following [10]) of this dynamical process $t \mapsto ω_{K} (t)$ which we call $K$ -exclusion dynamical percolation. We then proceed with a detailed analysis of the planar case at the critical point (both for the triangular grid and the square lattice $ℤ^{2}$ ) where we consider the power-law kernels $K^{α}$

K^{α} (x, y) \propto \frac{1}{{∥ x - y ∥}_{2}^{2 + α}} .

We prove that if

α > 0

is chosen small enough, there exist exceptional times

t

for which an infinite cluster appears in

ω_{K^{α}} (t)

. (On the triangular grid, we prove that this holds for all

α < α_{0} = \frac{217}{816}

.) The existence of such exceptional times for standard i.i.d. dynamical percolation (where sites evolve according to independent Poisson point processes) goes back to the work by Schramm-Steif in [25]. In order to handle such a

K

-exclusion dynamics, we push further the spectral analysis of exclusion noise sensitivity which has been initiated in [3]. (The latter paper can be viewed as a conservative analog of the seminal paper by Benjamini-Kalai-Schramm [1] on i.i.d. noise sensitivity.) The case of a nearest-neighbor simple exclusion process, corresponding to the limiting case

α = + \infty

, is left widely open.

Publié le : 2019-11-12

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2383

Classification : 82C43, 60K35, 42B05.
Keywords: Percolation, dynamical percolation, simple exclusion process, exceptional times, noise sensitivity, Fourier analysis of Boolean functions.
Mot clés : Percolation, percolation dynamique, processus d'exclusion simple, temps exceptionnels, sensibilité au bruit, analyse de Fourier des fonctions Booléennes.

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Garban, Christophe; Vanneuville, Hugo. Exceptional times for percolation  under exclusion dynamics. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 52 (2019) no. 1, pp. 1-57. doi : 10.24033/asens.2383. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2383/

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