Motives of rigid analytic tubes and nearby motivic sheaves

Ayoub, Joseph; Ivorra, Florian; Sebag, Julien

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 6, pp. 1335-1382.

Soient $k$ un corps de caractéristique nulle, $R=k〚t〛$ l'anneau des séries formelles sur $k$ et $K=k\left(\right(t\left)\right)$ son corps des fractions. Soit $X$ un $R$-schéma de type fini génériquement lisse. Soient $𝒳$ la complétion $t$-adique de $X$ et ${𝒳}_{\eta }$ sa fibre générique. Soit $Z\subset X_{\sigma }$ un sous-ensemble localement fermé de $X$. Dans cet article, nous lions le motif rigide du tube $\left]Z\right[$ de $Z$ dans ${𝒳}_{\eta }$ à la restriction à $Z$ du faisceau cycles proches motivique associé au $R$-schéma $X$. Le théorème 7.1, qui est notre résultat principal, peut être interprété comme un analogue motivique d'un théorème de Berkovich.

Comme application, étant donné un point rationnel $x\in X_{\sigma }$, nous obtenons une égalité dans un anneau de Grothendieck de motifs adéquat entre la fibre de Milnor motivique de Denef-Loeser en $x$ et la classe du motif rigide de la fibre de Milnor analytique de Nicaise-Sebag en $x$.

Let $k$ be a field of characteristic zero, $R=k〚t〛$ the ring of formal power series and $K=k\left(\right(t\left)\right)$ its fraction field. Let $X$ be a finite type $R$-scheme with smooth generic fiber. Let $𝒳$ be the $t$-adic completion of $X$ and ${𝒳}_{\eta }$ the generic fiber of $𝒳$. Let $Z\subset X_{\sigma }$ be a locally closed subset of the special fiber of $X$. In this article, we establish a relation between the rigid motive of $\left]Z\right[$ (the tube of $Z$ in ${𝒳}_{\eta }$) and the restriction to $Z$ of the nearby motivic sheaf associated with the $R$-scheme $X$. Our main result, Theorem 7.1, can be interpreted as a motivic analog of a theorem of Berkovich.

As an application, given a rational point $x\in X_{\sigma }$, we obtain an equality, in a suitable Grothendieck ring of motives, between the motivic Milnor fiber of Denef-Loeser at $x$ and the class of the rigid motive of the analytic Milnor fiber of Nicaise-Sebag at $x$.

Classification : 14B20, 14C15, 14F42, 14G22, 32S30
Keywords: Motivic sheaves, nearby motivic sheaves, rigid motives, tubes, analytic Milnor fiber, motivic Milnor fiber
Mot clés : Faisceaux motiviques, faisceaux cycles proches motiviques, motifs rigides, tubes, fibre de Milnor motivique, fibre de Milnor analytique

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