Segre classes and Hilbert schemes of points
[Classes de Segre et schémas de Hilbert ponctuels]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 1, pp. 239-267.

Nous démontrons une formule explicite pour les intégrales des classes de Segre des fibrés tautologiques sur les schémas de Hilbert ponctuels d'une surface K3. À cette fin, on utilise la formule de localisation de la classe virtuelle fondamentale pour certains schémas Quot de Grothendieck associés à la surface K3. On en déduit sur les schémas de Hilbert ponctuels des formules récursives entraînant les classes de Segre, qu'on peut résoudre explicitement. Ce résultat établit une conjecture de M. Lehn de 1999, dans le cas des surfaces de classe canonique triviale.

Les récursions décrites ici appartiennent à un tableau beaucoup plus vaste. En localisant les classes virtuelles des schémas Quot relatifs, on obtient des nouvelles relations entre les classes tautologiques dans l'anneau de Chow des espaces des modules des surfaces et de leurs schémas de Hilbert ponctuels relatifs. Pour l'espace des modules des surfaces K3, cette méthode donne des relations entre les classes kappa et les classes de Noether-Lefschetz. Nous proposons de nouvelles conjectures sur les anneaux de Chow tautologiques.

We prove a closed formula for the integrals of the top Segre classes of tautological bundles over the Hilbert schemes of points of a K3 surface X. We derive relations among the Segre classes via equivariant localization of the virtual fundamental classes of Quot schemes on X. The resulting recursions are then solved explicitly. The formula proves the K-trivial case of a conjecture of M. Lehn from 1999.

The relations determining the Segre classes fit into a much wider theory. By localizing the virtual classes of certain relative Quot schemes on surfaces, we obtain new systems of relations among tautological classes on moduli spaces of surfaces and their relative Hilbert schemes of points. For the moduli of K3 surfaces, we produce relations intertwining the κ classes and the Noether-Lefschetz loci. Conjectures are proposed.

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DOI : 10.24033/asens.2320
Classification : 14J28, 14C05, 14J10
Keywords: Hilbert schemes of points, Quot schemes, moduli of $K3$ surfaces, tautological classes.
Mot clés : Schémas de Hilbert ponctuels, schémas Quot, espaces des modules des surfaces $K3$, classes de Chow tautologiques. 
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