Théorème de Chebotarev  et complexité de Littlewood

Bellaïche, Joël

doi:10.24033/asens.2291

Théorème de Chebotarev et complexité de Littlewood

Bellaïche, Joël

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 3, pp. 579-632.

Résumé
Abstract

Dans la version effective du théorème de Chebotarev sous l'hypothèse de Riemann généralisée et la conjecture d'Artin (voir le livre d'Iwaniec et Kowalski, Analytic Number Theory, § 5.13) apparaît un invariant numérique d'un sous-ensemble $D$ d'un groupe fini $G$ , que nous appelons la complexité de Littlewood de $D$ . Nous étudions en détail cet invariant. À l'aide de cette étude, et d'une application du grand crible, nous traitons de manière améliorée deux questions classiques liées à Chebotarev: celle de prouver une majoration du plus petit nombre premier d'un ensemble frobénien, et celle de donner une estimation asymptotique du nombre de nombres premiers ayant des Frobénius donnés dans une famille d'extensions galoisiennes. Nous donnons ensuite des applications concrètes de ces résultats au problème de la factorisation des polynômes à coefficients entiers modulo un nombre premier $p$ , à la conjecture de Lang-Trotter pour les surfaces abéliennes, et à la conjecture de Koblitz, obtenant dans chacun de ces cas des estimations meilleures que celles qu'on trouve dans la littérature.

The effective version of Chebotarev's density theorem under the Generalized Riemann Hypothesis and the Artin conjecture (cf. Iwaniec and Kowalski's Analytic Number Theory, § 5.13) involves a numerical invariant of a subset $D$ of a finite group $G$ that we call the Littlewood Complexity of $D$ . We study this invariant in detail. Using this study, and an application of the large sieve, we give improved versions of two standard problems related to Chebotarev: the bound on the first prime in a Frobenian set, and the asymptotics of the set of primes with given Frobenius in an infinite family of Galois extensions. We then give concrete applications to the problem of the factorization of an integral polynomial modulo primes, to the Lang-Trotter conjecture for abelian surfaces, and to the conjecture of Koblitz, with in all three cases better bounds that previously known.

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2291

Classification : 11F80, 11M06, 11M26, 11N36, 11N37.
Mots-clés : Chebotarev's density theorem, Littlewood complexity, large sieve. Théorème de Chebotarev, complexité de Littlewood, grand crible.

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Bellaïche, Joël. Théorème de Chebotarev  et complexité de Littlewood. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 3, pp. 579-632. doi : 10.24033/asens.2291. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2291/

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