Hypersurfaces quartiques de dimension 3 : non-rationalité stable
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 2, pp. 371-397.

Inspirés par un argument de C. Voisin, nous montrons l'existence d'hypersurfaces quartiques lisses de dimension 3 sur les complexes qui ne sont pas stablement rationnelles, plus précisément dont le groupe de Chow de degré zéro n'est pas universellement égal à ℤ. La méthode de spécialisation adoptée ici permet de construire des exemples définis sur un corps de nombres.

There are (many) smooth quartic threefolds over the complex field which are not stably rational. More precisely, their degree zero Chow group is not universally equal to ℤ. The proof uses a variation of a method due to C. Voisin. The specialisation argument we use yields examples defined over a number field.

DOI : 10.24033/asens.2285
Classification : 14M20, 14E08, 14D06, 14C15.
Mot clés : Rationalité stable, solides quartiques, spécialisation, groupe de Chow des zéro-cycles, correspondances, groupe de Brauer.
Keywords: Stable rationality, quartic threefolds, specialization, Chow group of zero-cycles, correspondances, groupe de Brauer. 
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Colliot-Thélène, Jean-Louis; Pirutka, Alena. Hypersurfaces quartiques de dimension 3 : non-rationalité stable. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 2, pp. 371-397. doi : 10.24033/asens.2285. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2285/

Auel, A.; Colliot-Thélène, J.-L.; Parimala, R. Universal unramified cohomology of cubic fourfolds containing a plane preprint arXiv:1310.6705, à paraître dans Brauer groups and obstruction problems: moduli spaces and arithmetic (Palo Alto, 2013), (A. Auel, B. Hassett, T. Várilly-Alvarado, B. Viray, éd.) | MR

Artin, M.; Mumford, D. Some elementary examples of unirational varieties which are not rational, Proc. London Math. Soc., Volume 25 (1972), pp. 75-95 (ISSN: 0024-6115) | DOI | MR | Zbl

Bourbaki, N., Springer, 2006 | MR | Zbl

Colliot-Thélène, J.-L. Un théorème de finitude pour le groupe de Chow des zéro-cycles d'un groupe algébrique linéaire sur un corps p-adique, Invent. math., Volume 159 (2005), pp. 589-606 (ISSN: 0020-9910) | DOI | MR | Zbl

Colliot-Thélène, J.-L.; Ojanguren, M. Variétés unirationnelles non rationnelles: au-delà de l'exemple d'Artin et Mumford, Invent. math., Volume 97 (1989), pp. 141-158 (ISSN: 0020-9910) | DOI | MR | Zbl

Colliot-Thélène, J.-L.; Sansuc, J.-J. La R-équivalence sur les tores, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 10 (1977), pp. 175-229 (ISSN: 0012-9593) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Deligne, P., Lecture Notes in Math., 569, Springer, Berlin-New York, 1977 (Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie SGA 4 1/2) | MR | Zbl

Esnault, H.; Wittenberg, O. On the cycle class map for zero-cycles over local fields, Ann. Sc. Éc. Norm. Sup., Volume 49 (2016), pp. 481-518 | MR | Zbl

Fulton, W. Rational equivalence on singular varieties, Publ. Math. IHÉS, Volume 45 (1975), pp. 147-167 (ISSN: 0073-8301) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Fulton, W., Ergebn. Math. Grenzg., 2, Springer, Berlin, 1998, 470 pages (ISBN: 3-540-62046-X; 0-387-98549-2) | DOI | MR | Zbl

Gabber, O.; Liu, Q.; Lorenzini, D. The index of an algebraic variety, Invent. math., Volume 192 (2013), pp. 567-626 (ISSN: 0020-9910) | DOI | MR | Zbl

Grothendieck, A. Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III, Publ. Math. IHÉS, Volume 28 (1966), 255 pages (ISSN: 0073-8301) | Numdam | MR | Zbl

Grothendieck, A. Le groupe de Brauer I, II, III, Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Masson & North-Holland (1968) 0198.25803 | Zbl

Huh, J. A counterexample to the geometric Chevalley-Warning conjecture (preprint arXiv:1307.7765 )

Iskovskikh, V. A.; Manin, Yu. I. Quartiques de dimension trois et contre-exemples au problème de Lüroth, Mat. Sb., Volume 86 (1671), pp. 140-166 (en russe) | Zbl

Kleiman, S. L., Fundamental algebraic geometry (Math. Surveys Monogr.), Volume 123, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, pp. 235-321 | MR

Karpenko, N. A.; Merkurjev, A. S. On standard norm varieties, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 46 (2013), p. 175-214 (2013) (ISSN: 0012-9593) | MR | Zbl

Kollár, J., Ergebn. Math. Grenzg., 32, Springer, Berlin, 1996, 320 pages (ISBN: 3-540-60168-6) | DOI | MR | Zbl

Madore, D. A. Sur la spécialisation de la R-équivalence (preprint http://perso.telecom-paristech.fr/~madore/specialz.pdf )

Madore, D. A. Équivalence rationnelle sur les hypersurfaces cubiques de mauvaise réduction, J. Number Theory, Volume 128 (2008), pp. 926-944 (ISSN: 0022-314X) | DOI | MR | Zbl

Merkurjev, A. Unramified elements in cycle modules, J. Lond. Math. Soc., Volume 78 (2008), pp. 51-64 (ISSN: 0024-6107) | DOI | MR | Zbl

Rost, M. Chow groups with coefficients, Doc. Math., Volume 1 (1996), pp. No. 16, 319-393 (ISSN: 1431-0635) | DOI | MR | Zbl

Serre, J.-P., Hermann, Paris, 1968, 245 pages | MR | Zbl

Spanier, E. H., Springer, New York, 1966, 528 pages (corrected reprint of the 1966 original) (ISBN: 0-387-94426-5) | MR | Zbl

Voisin, C. Unirational threefolds with no universal codimension 2 cycle, Invent. math., Volume 201 (2015), pp. 207-237 (ISSN: 0020-9910) | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :