Geometric Baum-Connes assembly map  for twisted Differentiable Stacks

Carrillo Rouse, Paulo; Wang, Bai-Ling

doi:10.24033/asens.2283

Geometric Baum-Connes assembly map for twisted Differentiable Stacks
[Le morphisme d'assemblage géométrique de Baum-Connes pour des Champs différentiables tordus]

Carrillo Rouse, Paulo ; Wang, Bai-Ling

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 2, pp. 277-323.

Résumé
Abstract

Nous construisons le morphisme d'assemblage géométrique de Baum-Connes pour des groupoïdes de Lie tordus, à savoir des groupoïdes de Lie avec un $P U (H)$ -fibré principal équivariant. La construction est basée sur l'utilisation des groupoïdes de déformation, ces objets permettent en particulier de donner une construction géométrique des morphismes shriek associés et d'établir la fonctorialité. Les principaux résultats de cet article sont la définition des groupes de K-homologie géométrique tordue et la construction du morphisme d'assemblage. Même dans le cas non tordu le fait que les groupes de K-homologie géométrique et le morphisme d'assemblage (géométrique) pour des groupoïdes de Lie sont bien définis est nouveau ; en effet, ceci a été esquissé par Connes dans son livre pour des groupoïdes de Lie générales sans aucune restriction, en particulier pour des groupoïdes non séparés.

Nous montrons aussi l'invariance par Morita du morphisme d'assemblage, donnant ainsi un sens précis au morphisme d'assemblage géométrique de Baum-Connes pour des champs différentiables tordus. Nous discutons la relation de notre morphisme d'assemblage avec le morphisme associé à la $S^{1}$ -extension centrale. La relation avec le morphisme analytique est traitée, ainsi que quelques cas où il y a isomorphisme. Un outil important est le morphisme de Thom tordu dans le cas équivariant par rapport à un groupoïde que nous établissons dans l'appendice.

We construct the geometric Baum-Connes assembly map for twisted Lie groupoids, that means for Lie groupoids together with a given groupoid equivariant $P U (H)$ -principle bundle. The construction is based on the use of geometric deformation groupoids, these objects allow in particular to give a geometric construction of the associated pushforward maps and to establish the functoriality. The main results in this paper are to define the geometric twisted K-homology groups and to construct the assembly map. Even in the untwisted case the fact that the geometric K-homology groups and the geometric assembly map are well defined for Lie groupoids is new, as it was only sketched by Connes in his book for general Lie groupoids without any restrictive hypothesis, in particular for non Hausdorff Lie groupoids.

We also prove the Morita invariance of the assembly map, giving thus a precise meaning to the geometric assembly map for twisted differentiable stacks. We discuss the relation of the assembly map with the associated assembly map of the $S^{1}$ -central extension. The relation with the analytic assembly map is treated, as well as some cases in which we have an isomorphism. One important tool is the twisted Thom isomorphism in the groupoid equivariant case which we establish in the appendix.

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2283

Classification : 58J22; 19K35, 19K56, 46L80.
Keywords: Twisted K-theory, Index theory, Lie groupoids and Differentiable stacks. MSC.
Mot clés : K-théorie tordue, théorie de l'indice, groupoïdes de Lie et champs différentiables.

@article{ASENS_2016__49_2_277_0,
     author = {Carrillo Rouse, Paulo and Wang, Bai-Ling},
     title = {Geometric {Baum-Connes} assembly map  for twisted {Differentiable} {Stacks}},
     journal = {Annales scientifiques de l'\'Ecole Normale Sup\'erieure},
     pages = {277--323},
     publisher = {Soci\'et\'e Math\'ematique de France. Tous droits r\'eserv\'es},
     volume = {Ser. 4, 49},
     number = {2},
     year = {2016},
     doi = {10.24033/asens.2283},
     mrnumber = {3481351},
     zbl = {1346.58007},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2283/}
}

TY  - JOUR
AU  - Carrillo Rouse, Paulo
AU  - Wang, Bai-Ling
TI  - Geometric Baum-Connes assembly map  for twisted Differentiable Stacks
JO  - Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
PY  - 2016
SP  - 277
EP  - 323
VL  - 49
IS  - 2
PB  - Société Mathématique de France. Tous droits réservés
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2283/
DO  - 10.24033/asens.2283
LA  - en
ID  - ASENS_2016__49_2_277_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Carrillo Rouse, Paulo
%A Wang, Bai-Ling
%T Geometric Baum-Connes assembly map  for twisted Differentiable Stacks
%J Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure
%D 2016
%P 277-323
%V 49
%N 2
%I Société Mathématique de France. Tous droits réservés
%U http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2283/
%R 10.24033/asens.2283
%G en
%F ASENS_2016__49_2_277_0

Carrillo Rouse, Paulo; Wang, Bai-Ling. Geometric Baum-Connes assembly map  for twisted Differentiable Stacks. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 49 (2016) no. 2, pp. 277-323. doi : 10.24033/asens.2283. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.2283/

Bibliographie
Cité par

Abels, H. Parallelizability of proper actions, global $K$ -slices and maximal compact subgroups, Math. Ann., Volume 212 (1974/75), pp. 1-19 (ISSN: 0025-5831) | DOI | MR | Zbl

Atiyah, M.; Segal, G. Twisted $K$ -theory, Ukr. Mat. Visn., Volume 1 (2004), pp. 287-330 (ISSN: 1810-3200) | MR | Zbl

Baum, P.; Connes, A. Geometric $K$ -theory for Lie groups and foliations, Enseign. Math., Volume 46 (2000), pp. 3-42 (ISSN: 0013-8584) | MR | Zbl

Baum, P.; Higson, N.; Schick, T., Quanta of maths (Clay Math. Proc.), Volume 11, Amer. Math. Soc., 2010, pp. 1-22 | MR | Zbl

Baum, P.; Oyono-Oyono, H.; Schick, T.; Walter, M. Equivariant geometric $K$ -homology for compact Lie group actions, Abh. Math. Semin. Univ. Hambg., Volume 80 (2010), pp. 149-173 (ISSN: 0025-5858) | DOI | MR | Zbl

Baum, G. E. P.; Willett, R. Expanders, Exact crossed products, and the Baum-Connes conjecture (preprint arXiv:1311.2343 )

Carrillo Rouse, P. Compactly supported analytic indices for Lie groupoids, J. K-Theory, Volume 4 (2009), pp. 223-262 (ISSN: 1865-2433) | DOI | MR | Zbl

Candel, A.; Conlon, L., Graduate Studies in Math., 23, Amer. Math. Soc., 2000, 402 pages (ISBN: 0-8218-0809-5) | MR | Zbl

Chabert, J.; Echterhoff, S.; Nest, R. The Connes-Kasparov conjecture for almost connected groups and for linear $p$ -adic groups, Publ. Math. IHÉS, Volume 97 (2003), pp. 239-278 (ISSN: 0073-8301) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Connes, A., Academic Press Inc., 1994, 661 pages (ISBN: 0-12-185860-X) | MR | Zbl

Carrillo Rouse, P.; Wang, B.-L. Twisted index theory for foliations, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 348 (2010), pp. 1297-1301 (ISSN: 1631-073X) | DOI | MR | Zbl

Carrillo Rouse, P.; Wang, B.-L. Twisted longitudinal index theorem for foliations and wrong way functoriality, Adv. Math., Volume 226 (2011), pp. 4933-4986 (ISSN: 0001-8708) | DOI | MR | Zbl

Carey, A. L.; Wang, B.-L. Thom isomorphism and push-forward map in twisted $K$ -theory, J. K-Theory, Volume 1 (2008), pp. 357-393 (ISSN: 1865-2433) | DOI | MR | Zbl

Debord, C. Holonomy groupoids of singular foliations, J. Differential Geom., Volume 58 (2001), pp. 467-500 (ISSN: 0022-040X) | MR | Zbl

Del Hoyo, M.; Loja Fernandes, R. Riemannian Metrics on Lie groupoids (preprint arXiv:1404.5989 ) | MR

Debord, C.; Lescure, J.-M.; Nistor, V. Groupoids and an index theorem for conical pseudo-manifolds, J. reine angew. Math., Volume 628 (2009), pp. 1-35 (ISSN: 0075-4102) | DOI | MR | Zbl

Ehresmann, C., Dunod, 1965, 358 pages | MR | Zbl

Fulman, I.; Muhly, P. S.; Williams, D. P. Continuous-trace groupoid crossed products, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 132 (2004), pp. 707-717 (ISSN: 0002-9939) | DOI | MR | Zbl

Godbillon, C., Progress in Math., 98, Birkhäuser, 1991, 474 pages (ISBN: 3-7643-2638-7) | MR

Hilsum, M.; Skandalis, G. Morphismes $K$ -orientés d'espaces de feuilles et fonctorialité en théorie de Kasparov (d'après une conjecture d'A. Connes), Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 20 (1987), pp. 325-390 (ISSN: 0012-9593) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Karoubi, M., $K$ -theory and noncommutative geometry (EMS Ser. Congr. Rep.), Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 117-149 | DOI | MR | Zbl

Kasparov, G., Novikov conjectures, index theorems and rigidity, Vol. 1 (Oberwolfach, 1993) (London Math. Soc. Lecture Note Ser.), Volume 226, Cambridge Univ. Press, 1995, pp. 101-146 | DOI | MR | Zbl

Kumjian, A.; Muhly, P. S.; Renault, J. N.; Williams, D. P. The Brauer group of a locally compact groupoid, Amer. J. Math., Volume 120 (1998), pp. 901-954 http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.5kumjian.pdf (ISSN: 0002-9327) | DOI | MR | Zbl

Lafforgue, V. La conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques, J. Noncommut. Geom., Volume 6 (2012), pp. 1-197 (ISSN: 1661-6952) | DOI | MR | Zbl

Lassagne, I. Thèse de Doctorat à l'Université de Lorraine (2013)

Le Gall, P.-Y. Théorie de Kasparov équivariante et groupoïdes. I, $K$ -Theory, Volume 16 (1999), pp. 361-390 (ISSN: 0920-3036) | DOI | MR | Zbl

Mackenzie, K., London Mathematical Society Lecture Note Series, 124, Cambridge Univ. Press, 1987, 327 pages (ISBN: 0-521-34882-X) | MR | Zbl

Moerdijk, I.; Mrčun, J., Cambridge Studies in Advanced Math., 91, Cambridge Univ. Press, 2003, 173 pages (ISBN: 0-521-83197-0) | MR | Zbl

Mrčun, J. Functoriality of the bimodule associated to a Hilsum-Skandalis map, $K$ -Theory, Volume 18 (1999), pp. 235-253 (ISSN: 0920-3036) | DOI | MR | Zbl

Muhly, P. S., Groupoids in analysis, geometry, and physics (Boulder, CO, 1999) (Contemp. Math.), Volume 282, Amer. Math. Soc., 2001, pp. 67-82 | DOI | MR | Zbl

Paterson, A. L. T., Progress in Math., 170, Birkhäuser, 1999, 274 pages (ISBN: 0-8176-4051-7) | MR | Zbl

Pflaum, M. J.; Posthuma, H.; Tang, X. Geometry of orbit spaces of proper Lie groupoids, J. reine angew. Math., Volume 694 (2014), pp. 49-84 (ISSN: 0075-4102) | DOI | MR | Zbl

Renault, J., Lecture Notes in Math., 793, Springer, 1980, 160 pages (ISBN: 3-540-09977-8) | MR | Zbl

Renault, J. Représentation des produits croisés d'algèbres de groupoïdes, J. Operator Theory, Volume 18 (1987), pp. 67-97 (ISSN: 0379-4024) | MR | Zbl

Shim, J.-K. The invariance of analytic assembly maps under the groupoid equivalence, J. Math. Kyoto Univ., Volume 41 (2001), pp. 809-827 (ISSN: 0023-608X) | MR | Zbl

Tu, J.-L., $C^{*}$ -algebras (Münster, 1999), Springer, 2000, pp. 227-242 | MR | Zbl

Tu, J.-L. Habilitation à diriger des recherches en mathématiques (2005) (ISSN: 0920-3036)

Tu, J. L. La conjecture de Novikov pour les feuilletages hyperboliques, $K$ -Theory, Volume 16 (1999), pp. 129-184 (ISSN: 0920-3036) | DOI | MR | Zbl

Tu, J.-L. La conjecture de Baum-Connes pour les feuilletages moyennables, $K$ -Theory, Volume 17 (1999), pp. 215-264 (ISSN: 0920-3036) | DOI | MR | Zbl

Tu, J.-L.; Xu, P. Chern character for twisted $K$ -theory of orbifolds, Adv. Math., Volume 207 (2006), pp. 455-483 (ISSN: 0001-8708) | DOI | MR | Zbl

Tu, J.-L.; Xu, P. The ring structure for equivariant twisted $K$ -theory, J. reine angew. Math., Volume 635 (2009), pp. 97-148 (ISSN: 0075-4102) | DOI | MR | Zbl

Tu, J.-L.; Xu, P.; Laurent-Gengoux, C. Twisted $K$ -theory of differentiable stacks, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 37 (2004), pp. 841-910 (ISSN: 0012-9593) | DOI | Numdam | MR | Zbl

Wang, B.-L. Geometric cycles, index theory and twisted $K$ -homology, J. Noncommut. Geom., Volume 2 (2008), pp. 497-552 (ISSN: 1661-6952) | DOI | MR | Zbl

Winkelnkemper, H. E. The graph of a foliation, Ann. Global Anal. Geom., Volume 1 (1983), pp. 51-75 (ISSN: 0232-704X) | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :