Invariants, torsion indices and oriented cohomology of complete flags

Calmès, Baptiste; Petrov, Viktor; Zainoulline, Kirill

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 46 (2013) no. 3, pp. 405-448.

Soit $G$ un groupe algébrique linéaire semi-simple déployé sur un corps et soit $T$ un tore maximal déployé de $G$. Étant donnée une cohomologie orientée $𝗁$ (anneau de Chow, $K_0$ de Grothendieck, $K$-théorie connective, etc.) et sa loi de groupe formel $F$, nous construisons un anneau appelé anneau de groupe formel, associé à $F$ et aux caractères de $T$, puis un homomorphisme caractéristique $c$ de cet anneau de groupe formel vers l’anneau $𝗁(G/B)$ où $G/B$ est la variété des sous-groupes de Borel de $G$. Le résultat principal de cet article montre que, lorsque l’indice de torsion du groupe $G$ est inversé, $c$ est surjectif et son noyau est engendré par des éléments invariants sous l’action du groupe de Weyl de $G$. En guise d’application, nous fournissons un algorithme qui permet de calculer la structure d’anneau de $𝗁(G/B)$ et d’y calculer les classes de variétés de Schubert désingularisées et leur produits.

Let $G$ be a split semisimple linear algebraic group over a field and let $T$ be a split maximal torus of $G$. Let $𝗁$ be an oriented cohomology (algebraic cobordism, connective $K$-theory, Chow groups, Grothendieck’s $K_0$, etc.) with formal group law $F$. We construct a ring from $F$ and the characters of $T$, that we call a formal group ring, and we define a characteristic ring morphism $c$ from this formal group ring to $𝗁(G/B)$ where $G/B$ is the variety of Borel subgroups of $G$. Our main result says that when the torsion index of $G$ is inverted, $c$ is surjective and its kernel is generated by elements invariant under the Weyl group of $G$. As an application, we provide an algorithm to compute the ring structure of $𝗁(G/B)$ and to describe the classes of desingularized Schubert varieties and their products.

Classification : 14F43, 14L05, 14M15, 19L41, 20G10
Keywords: linear algebraic group, oriented cohomology, formal group law
Mot clés : groupe algébrique linéaire, cohomologie orientée, loi de groupe formel

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