Multifractal analysis of the divergence of Fourier series

Bayart, Frédéric; Heurteaux, Yanick

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 45 (2012) no. 6, pp. 927-946.

Un célèbre théorème de Carleson nous dit que si une fonction $f$ est de puissance $p$-ième intégrable ($p>1$), sa série de Fourier converge presque partout. D’un autre côté, il peut y avoir des points de divergence. Pour un tel point donné $x$, on peut introduire l’indice de divergence comme étant le plus petit exposant $\beta$ tel que $S_{n}f\left(x\right)=O\left(n^{\beta }\right)$. On sait que cet indice est au plus égal à $1/p$ et on s’intéresse à la dimension des ensembles exceptionnels de points $E_{\beta }$ d’indice de divergence donné $\beta$. Nous montrons que quasi-toute fonction de $L^p$ (au sens de Baire) a un comportement multifractal. De façon précise, quasi-sûrement dans $L^p$, pour tout $\beta$, la dimension de Hausdorff de $E_{\beta }$ vaut $1-\beta p$. Nous nous intéressons aussi aux fonctions continues pour lesquelles la croissance de $S_{n}f\left(x\right)$ est contrôlée par le logarithme de $n$. Là encore un indice de divergence (logarithmique) peut être introduit et nous obtenons des résultats surprenants sur la taille des ensembles exceptionnels.

A famous theorem of Carleson says that, given any function $f\in L^p\left(𝕋\right)$, $p\in (1,+\infty )$, its Fourier series $\left(S_{n}f\left(x\right)\right)$ converges for almost every $x\in 𝕋$. Beside this property, the series may diverge at some point, without exceeding $O\left(n^{1/p}\right)$. We define the divergence index at $x$ as the infimum of the positive real numbers $\beta$ such that $S_{n}f\left(x\right)=O\left(n^{\beta }\right)$ and we are interested in the size of the exceptional sets $E_{\beta }$, namely the sets of $x\in 𝕋$ with divergence index equal to $\beta$. We show that quasi-all functions in $L^p\left(𝕋\right)$ have a multifractal behavior with respect to this definition. Precisely, for quasi-all functions in $L^p\left(𝕋\right)$, for all $\beta \in [0,1/p]$, $E_{\beta }$ has Hausdorff dimension equal to $1-\beta p$. We also investigate the same problem in $𝒞\left(𝕋\right)$, replacing polynomial divergence by logarithmic divergence. In this context, the results that we get on the size of the exceptional sets are rather surprising.

Classification : 42A20
Keywords: Fourier series, multifractal analysis, divergence, Baire category theorem
Mot clés : séries de Fourier, analyse multifractale, divergence, théorème de Baire

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