On the infinite fern of Galois representations of unitary type

Chenevier, Gaëtan

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 6, pp. 963-1019.

Soient $E$ un corps de nombres CM, $p$ un nombre premier impair totalement décomposé dans $E$, et soit $X$ l’espace analytique $p$-adique paramétrant les classes d’isomorphie de représentations $p$-adiques semisimples de dimension $3$ de $\mathrm{Gal}(\overline{E}/E)$ satisfaisant une condition d’autodualité « de type $\mathrm{U}\left(3\right)$ ». Nous étudions un analogue de la fougère infinie de Gouvêa-Mazur dans ce contexte et démontrons que l’adhérence Zariski des points modulaires de $X$ a toutes ses composantes irréductibles de dimension au moins $3[E:\mathbb{Q}]$. Au passage, nous prouvons en toute dimension que toute déformation à l’ordre $1$ d’une représentation cristalline suffisamment générique de $\mathrm{Gal}({\overline{\mathbb{Q}}}_p/{\mathbb{Q}}_p)$ est une combinaison linéaire de déformations triangulines, et que les variétés de Hecke unitaires sont étales sur l’espace des poids aux points classiques non critiques. Enfin, nous obtenons un critère de surjectivité de l’application de localisation en $p$ du groupe de Selmer adjoint${}^{\text{'}}$ d’une représentation galoisienne $p$-adique attachée à une représentation automorphe cuspidale cohomologique de ${\mathrm{GL}}_n\left({𝔸}_E\right)$ qui est de type $\mathrm{U}\left(n\right)$ (pour tout $n$).

Let $E$ be a CM number field, $p$ an odd prime totally split in $E$, and let $X$ be the $p$-adic analytic space parameterizing the isomorphism classes of $3$-dimensional semisimple $p$-adic representations of $\mathrm{Gal}(\overline{E}/E)$ satisfying a selfduality condition “of type $\mathrm{U}\left(3\right)$”. We study an analogue of the infinite fern of Gouvêa-Mazur in this context and show that each irreducible component of the Zariski-closure of the modular points in $X$ has dimension at least $3[E:\mathbb{Q}]$. As important steps, and in any rank, we prove that any first order deformation of a generic enough crystalline representation of $\mathrm{Gal}({\overline{\mathbb{Q}}}_p/{\mathbb{Q}}_p)$ is a linear combination of trianguline deformations, and that unitary eigenvarieties are étale over weight space at the non-critical classical points. As another application, we give a surjectivity criterion for the localization at $p$ of the adjoint${}^{\text{'}}$ Selmer group (Pronounce “adjoint primed Selmer group.”) of a $p$-adic Galois representation attached to a cuspidal cohomological automorphic representation of ${\mathrm{GL}}_n\left({𝔸}_E\right)$ of type $\mathrm{U}\left(n\right)$ (for any $n$).

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