Purity of level $m$ stratifications

Nicole, Marc-Hubert; Vasiu, Adrian; Wedhorn, Torsten

doi:10.24033/asens.2136

Purity of level

m

stratifications
[Pureté des stratifications par l'échelon]

Nicole, Marc-Hubert ; Vasiu, Adrian ; Wedhorn, Torsten

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 43 (2010) no. 6, pp. 925-955.

Résumé
Abstract

Soit $k$ un corps de caractéristique $p > 0$ . Soit $D_{m}$ un ${BT}_{m}$ sur $k$ (i.e., un groupe de Barsotti-Tate tronqué en échelon $m$ sur $k$ ). Soient $S$ un $k$ -schéma et $X$ un ${BT}_{m}$ sur $S$ . Soit $S_{D_{m}} (X)$ le sous-schéma de $S$ correspondant au lieu où $X$ est isomorphe à $D_{m}$ localement pour la topologie fppf. Si $p \geq 5$ , nous montrons que $S_{D_{m}} (X)$ est pur dans $S$ , i.e. l’immersion $S_{D_{m}} (X) ↪ S$ est affine. Pour $p \in {2, 3}$ , nous prouvons la pureté pour $D_{m}$ satisfaisant une certaine propriété technique dépendant uniquement de la $p$ -torsion $D_{m} [p]$ . Pour $p \geq 5$ , nous utilisons les techniques développées pour montrer que toutes les stratifications par l’échelon associées aux variétés de Shimura de type Hodge sont pures.

Let $k$ be a field of characteristic $p > 0$ . Let $D_{m}$ be a ${BT}_{m}$ over $k$ (i.e., an $m$ -truncated Barsotti-Tate group over $k$ ). Let $S$ be a $k$ -scheme and let $X$ be a ${BT}_{m}$ over $S$ . Let $S_{D_{m}} (X)$ be the subscheme of $S$ which describes the locus where $X$ is locally for the fppf topology isomorphic to $D_{m}$ . If $p \geq 5$ , we show that $S_{D_{m}} (X)$ is pure in $S$ , i.e. the immersion $S_{D_{m}} (X) ↪ S$ is affine. For $p \in {2, 3}$ , we prove purity if $D_{m}$ satisfies a certain technical property depending only on its $p$ -torsion $D_{m} [p]$ . For $p \geq 5$ , we apply the developed techniques to show that all level $m$ stratifications associated to Shimura varieties of Hodge type are pure.

MR Zbl

DOI : 10.24033/asens.2136

Classification : 11E57, 11G10, 11G18, 11G25, 14F30, 14G35, 14L05, 14L15, 14L30, 14R20, 20G25
Keywords: truncated Barsotti-Tate groups, affine schemes, group actions, $F$-crystals, stratifications, purity, and Shimura varieties
Mot clés : groupes de Barsotti-Tate tronqués, schémas affines, actions de groupe, $F$ cristaux, stratifications, pureté, variétés de Shimura

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Bibliographie
Cité par

[1] S. Bosch, W. Lütkebohmert & M. Raynaud, Néron models, Ergebn. Math. Grenzg. 21, Springer, 1990. | Zbl

[2] E. Cline, B. Parshall & L. Scott, Induced modules and affine quotients, Math. Ann. 230 (1977), 1-14. | MR | Zbl

[3] P. Deligne, Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques 1977), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., 1979, 247-289. | MR | Zbl

[4] E. Z. Goren, Hasse invariants for Hilbert modular varieties, Israel J. Math. 122 (2001), 157-174. | MR | Zbl

[5] A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique. II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes, Publ. Math. I.H.É.S. 8 (1961), 222. | Numdam | Zbl

[6] A. Grothendieck, Éléments de Géométrie Algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. II, Publ. Math. I.H.É.S. 24 (1965), 231. | Numdam | Zbl

[7] A. Grothendieck & J. Dieudonné, Éléments de Géométrie Algébrique, I. Le langage des schémas, Grundl. der Math. Wiss. 166, Springer, 1971. | Zbl

[8] G. Harder, Über die Galoiskohomologie halbeinfacher Matrizengruppen. II, Math. Z. 92 (1966), 396-415. | MR | Zbl

[9] L. Illusie, Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck), Séminaire sur les pinceaux arithmétiques : la conjecture de Mordell (Paris, 1983/84), Astérisque 127 (1985), 151-198. | Numdam | MR | Zbl

[10] T. Itō, Hasse invariants for some unitary Shimura varieties, in Algebraische Zahlentheorie, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, 2005, 1565-1568.

[11] A. J. De Jong & F. Oort, Purity of the stratification by Newton polygons, J. Amer. Math. Soc. 13 (2000), 209-241. | MR | Zbl

[12] R. E. Kottwitz, Points on some Shimura varieties over finite fields, J. Amer. Math. Soc. 5 (1992), 373-444. | MR | Zbl

[13] H. Kraft, Kommutative algebraische $p$ -Gruppen (mit Anwendungen auf $p$ -divisible Gruppen und abelschen Varietäten), preprint, 86 p., Univ. Bonn, 1975. | MR

[14] G. Laumon & L. Moret-Bailly, Champs algébriques, Ergebn. Math. Grenzg. 39, Springer, 2000. | MR | Zbl

[15] Y. Manin, The theory of commutative formal groups in finite caracteristic, Russian Math. Surv. 18 (1963), 1-83. | Zbl

[16] B. Moonen, Group schemes with additional structures and Weyl group cosets, in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math. 195, Birkhäuser, 2001, 255-298. | MR | Zbl

[17] B. Moonen & T. Wedhorn, Discrete invariants of varieties in positive characteristic, Int. Math. Res. Not. 2004 (2004), 3855-3903. | MR | Zbl

[18] D. Mumford, J. Fogarty & F. Kirwan, Geometric invariant theory, third éd., Ergebn. Math. Grenzg. 34, Springer, 1994. | MR | Zbl

[19] F. Oort, Newton polygons and formal groups: conjectures by Manin and Grothendieck, Ann. of Math. 152 (2000), 183-206. | MR | Zbl

[20] F. Oort, A stratification of a moduli space of abelian varieties, in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math. 195, Birkhäuser, 2001, 345-416. | MR | Zbl

[21] B. Pascal, Monodromie du faisceau pervers des cycles évanescents de quelques variétés de Shimura simples, Invent. Math. 177 (2009), 239-280. | MR | Zbl

[22] C. Traverso, $p$ -divisible groups over fields, in Symposia Mathematica, Vol. XI (Convegno di Algebra Commutativa, INDAM, Rome, 1971), Academic Press, 1973, 45-65. | MR | Zbl

[23] C. Traverso, Specializations of Barsotti-Tate groups, in Symposia Mathematica, Vol. XXIV (Sympos., INDAM, Rome, 1979), Academic Press, 1981, 1-21. | MR | Zbl

[24] A. Vasiu, Crystalline boundedness principle, Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (2006), 245-300. | Numdam | MR | Zbl

[25] A. Vasiu, Level $m$ stratifications of versal deformations of $p$ -divisible groups, J. Algebraic Geom. 17 (2008), 599-641. | MR | Zbl

[26] A. Vasiu, Mod $p$ classification of Shimura $F$ -crystals, Math. Nachr. 283 (2010), 1068-1113. | MR | Zbl

[27] A. Vasiu, Manin problems for Shimura varieties of Hodge type, preprint, arXiv:math/0209410. | MR | Zbl

[28] T. Wedhorn, The dimension of Oort strata of Shimura varieties of PEL-type, in Moduli of abelian varieties (Texel Island, 1999), Progr. Math. 195, Birkhäuser, 2001, 441-471. | MR | Zbl

[29] T. Zink, On the slope filtration, Duke Math. J. 109 (2001), 79-95. | MR | Zbl

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