Uniform mixing time for random walk on lamplighter graphs

Komjáthy, Júlia; Miller, Jason; Peres, Yuval

Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 50 (2014) no. 4, pp. 1140-1160.

Soit $𝒢$ un graphe connexe fini et $X$ une marche aléatoire fainéante sur $𝒢$. La chaîne de l’allumeur de réverbères $X^{\diamond }$ associée à $X$ est la marche aléatoire sur le groupe produit ${𝒢}^{\diamond }={𝐙}_2\wr 𝒢$, le graphe dont les sites sont des paires $(\underline{f},x)$ où $f$ est un label des sites de $𝒢$ par des éléments de ${𝐙}_2=\{0,1\}$ et $x$ est un site de $𝒢$. Il existe une arête entre $(\underline{f},x)$ et $(\underline{g},y)$ dans ${𝒢}^{\diamond }$ si et seulement si $x$ est adjacent à $y$ dans $𝒢$ et $f_z=g_z$ pour tout $z\ne x,y$. A chaque pas, $X^{\diamond }$ se déplace d’une configuration $(\underline{f},x)$ en mettant à jour $x$ vers $y$ par la règle de translation de $X$ et ensuite en mettant à jour à la fois $f_x$ et $f_y$ selon la distribution uniforme sur ${𝐙}_2$; $f_z$ pour $z\ne x,y$ restant inchangé. Nous prouvons des bornes supérieures et inférieures équivalentes sur le temps de mélange uniforme de $X^{\diamond }$ sous des hypothèses faibles sur $𝒢$. En particulier quand $𝒢$ est l’hypercube ${𝐙}_2^d$, nous montrons que le temps de mélange uniforme de $X^{\diamond }$ est $𝛩\left(d{2}^d\right)$. Plus généralement, nous montrons que quand $𝒢$ est le tore ${𝐙}_n^d$ avec $d\ge 3$, le temps de mélange uniforme de $X^{\diamond }$ est $𝛩\left(d{n}^d\right)$ uniformément en $n$ et $d$. Un ingrédient crucial de notre preuve est une estimation de concentration pour le temps local d’une marche aléatoire dans un sous ensemble de sites.

Suppose that $𝒢$ is a finite, connected graph and $X$ is a lazy random walk on $𝒢$. The lamplighter chain $X^{\diamond }$ associated with $X$ is the random walk on the wreath product ${𝒢}^{\diamond }={𝐙}_2\wr 𝒢$, the graph whose vertices consist of pairs $(\underline{f},x)$ where $f$ is a labeling of the vertices of $𝒢$ by elements of ${𝐙}_2=\{0,1\}$ and $x$ is a vertex in $𝒢$. There is an edge between $(\underline{f},x)$ and $(\underline{g},y)$ in ${𝒢}^{\diamond }$ if and only if $x$ is adjacent to $y$ in $𝒢$ and $f_z=g_z$ for all $z\ne x,y$. In each step, $X^{\diamond }$ moves from a configuration $(\underline{f},x)$ by updating $x$ to $y$ using the transition rule of $X$ and then sampling both $f_x$ and $f_y$ according to the uniform distribution on ${𝐙}_2$; $f_z$ for $z\ne x,y$ remains unchanged. We give matching upper and lower bounds on the uniform mixing time of $X^{\diamond }$ provided $𝒢$ satisfies mild hypotheses. In particular, when $𝒢$ is the hypercube ${𝐙}_2^d$, we show that the uniform mixing time of $X^{\diamond }$ is $𝛩\left(d{2}^d\right)$. More generally, we show that when $𝒢$ is a torus ${𝐙}_n^d$ for $d\ge 3$, the uniform mixing time of $X^{\diamond }$ is $𝛩\left(d{n}^d\right)$ uniformly in $n$ and $d$. A critical ingredient for our proof is a concentration estimate for the local time of the random walk in a subset of vertices.

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