Soit un espace probabilisé standard. Nous disons qu'une sous-tribu de décompose ergodiquement μ si toute probabilité conditionnelle régulière relativement à et μ, vérifie, pour μ-presque tout x∈X, . Dans ce cas l'égalité , nous donne une décomposition intégrale en composantes «-ergodiques.» Pour toute sous-tribu de , nous notons la plus petite sous-tribu de contenant et tous les sous-ensembles mesurables de X de μ-mesure nulle. Nous disons que la tribu est μ-complète si . Soit une famille non vide de sous-tribus de décomposant ergodiquement μ. Supposons que, pour toute partie finie J de I, ; cette hypothèse est satisfaite si les tribus , i∈I, sont μ-complètes. Alors la sous-tribu décompose ergodiquement μ.
Let be a standard probability space. We say that a sub-σ-algebra of decomposes μ in an ergodic way if any regular conditional probability with respect to and μ satisfies, for μ-almost every x∈X, . In this case the equality , gives us an integral decomposition in “-ergodic” components. For any sub-σ-algebra of , we denote by the smallest sub-σ-algebra of containing and the collection of all sets A in satisfying μ(A)=0. We say that is μ-complete if . Let be a non-empty family of sub-σ-algebras which decompose μ in an ergodic way. Suppose that, for any finite subset J of I, ; this assumption is satisfied in particular when the σ-algebras , i∈I, are μ-complete. Then we prove that the sub-σ-algebra decomposes μ in an ergodic way.
Mots clés : regular conditional probability, disintegration of probability, quasi-invariant measures, ergodic decomposition
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TY - JOUR AU - Raugi, Albert TI - A probabilistic ergodic decomposition result JO - Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques PY - 2009 SP - 932 EP - 942 VL - 45 IS - 4 PB - Gauthier-Villars UR - http://www.numdam.org/articles/10.1214/08-AIHP302/ DO - 10.1214/08-AIHP302 LA - en ID - AIHPB_2009__45_4_932_0 ER -
Raugi, Albert. A probabilistic ergodic decomposition result. Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) no. 4, pp. 932-942. doi : 10.1214/08-AIHP302. http://www.numdam.org/articles/10.1214/08-AIHP302/
[1] Iterates of conditional expectations operators. Proc. Amer. Math. Soc. 12 (1961) 490-495. | MR | Zbl
and .[2] On the ergodic decomposition for a cocycle. Preprint, 2007. (pdf version “ReducErg.pdf” in personal university site.) | MR
and .[3] Ergodic decomposition of quasi-invariant probability measures. Colloq. Math. 84/85 (2000) 495-514. | MR | Zbl
and .[4] Ergodic decomposition of probability laws. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 56 (1981) no. 3 399-414. | MR | Zbl
and .[5] Bases Mathématiques du Calcul des Probabilités. Masson, Paris, 1964. | MR | Zbl
.[6] A probabilistic proof of ergodic decomposition. Sankhyā Ser. A 40 (1978) no. 1 10-18. | MR | Zbl
.[7] Ergodic decomposition of quasi-invariant measures. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 14 (1978) no. 2 359-381. | MR | Zbl
.[8] Remark to the ergodic decomposition of measures. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 26 (1990) no. 5 861-865. | MR | Zbl
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