Une condition asymptotique pour le calcul de constantes de Sobolev logarithmiques sur la droite
Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques, Tome 45 (2009) no. 1, pp. 146-156.

On présente une formule explicite pour la constante de Sobolev logarithmique correspondant à des diffusions réelles ou à des processus entiers de vie et de mort, sous l'hypothèse que certaines quantités, naturellement associées à des inégalités de Hardy dans ce contexte, approchent leur supremum au bord de leur domaine de définition. La preuve se ramène au cas de la constante de Poincaré, à l'aide de comparaisons exactes entre entropie et variances appropriées.

An explicit formula for the logarithmic Sobolev constant relative to real diffusions or to birth and death integer-valued processes is presented, under an asymptotical assumption for quantities naturally associated to Hardy's inequalities in this context. Taking into account exact comparisons between entropy and appropriate variances, the proof comes back to Poincaré's inequality situation.

DOI : 10.1214/07-AIHP158
Classification : 46E35, 37A30, 60E15, 94A17, 49R50
Mots-clés : inégalités de Sobolev logarithmiques, inégalités de Poincaré, inégalités de Hardy, comparaisons entre entropies et variances, diffusions réelles, processus entiers de vie et de mort 
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[1] F. Barthe et C. Roberto. Sobolev inequalities for probability measures on the real line. Studia Math. 159 (2003) 481-497. | MR | Zbl

[2] S. G. Bobkov et F. Götze. Exponential integrability and transportation cost related to logarithmic Sobolev inequalities. J. Funct. Anal. 163 (1999) 1-28. | MR | Zbl

[3] C. Dellacherie et P.-A. Meyer. Probabilités et potentiel. Chapitres V à VIII. Hermann, Paris, revised edition. Théorie des martingales, 1980. [Martingale theory.] | MR | Zbl

[4] L. Gross. Logarithmic Sobolev inequalities. Amer. J. Math. 97 (1975) 1061-1083. | MR | Zbl

[5] L. Miclo. Quand est-ce que des bornes de Hardy permettent de calculer une constante de Poincaré exacte sur la droite ? Préprint, consultable sur http://hal.ccsd.cnrs.fr/ccsd-00017875, 2005. | Numdam | MR

[6] L. Miclo. Une condition asymptotique pour le calcul de constantes de Sobolev logarithmiques sur la droite. Préprint de la première version, consultable sur http://hal.ccsd.cnrs.fr/ccsd-00097577, 2006.

[7] B. Muckenhoupt. Hardy's inequality with weights. Studia Math. 44 (1972) 31-38. | MR | Zbl

Cité par Sources :