Nonlinear estimates for hypersurfaces in terms of their fundamental forms

Malin, Maria; Mardare, Cristinel

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 355 (2017) no. 11, pp. 1196-1200.

Une hypersuface suffisamment régulière immergée dans l'espace euclidien $(n+1)$-dimensionnel est determinée à une isométrie propre de ${\mathbb{R}}^{n+1}$ près par ses deux premières formes fondamentales. Par conséquent, une hypersuface suffisamment régulière avec frontière, dont la position et les vecteurs unitaires normaux et orientés positivement sont donnés sur une partie non vide de sa frontière, est déterminée uniquement par ses deux premières formes fondamentales. Nous établissons ici des versions plus fortes de ce résultat, en établissant des inégalités montrant qu'une distance appropriée entre deux immersions d'un domaine ω de ${\mathbb{R}}^n$ dans ${\mathbb{R}}^{n+1}$ est majorée par la norme $L^p$ de la difference entre des champs de matrices définies en fonction des deux premières formes fondamentales associées à chaque immersion.

A sufficiently regular hypersurface immersed in the $(n+1)$-dimensional Euclidean space is determined up to a proper isometry of ${\mathbb{R}}^{n+1}$ by its first and second fundamental forms. As a consequence, a sufficiently regular hypersurface with boundary, whose position and positively-oriented unit normal vectors are given on a non-empty portion of its boundary, is uniquely determined by its first and second fundamental forms. We establish here stronger versions of these uniqueness results by means of inequalities showing that an appropriate distance between two immersions from a domain ω of ${\mathbb{R}}^n$ into ${\mathbb{R}}^{n+1}$ is bounded by the $L^p$-norm of the difference between matrix fields defined in terms of the first and second fundamental forms associated with each immersion.

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[7] M. Malin, C. Mardare, Nonlinear Korn inequalities on a hypersurface, submitted.

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