[Une formule de dualité pour des modèles particulaires de type Feynman–Kac trajectoriels]
Cette Note et sa version étendue [10] présentent une nouvelle formule de dualité entre des modèles d'arbres généalogiques associés à des algorithmes génétiques particulaires et des mesures de Feynman–Kac sur des espaces trajectoriels. Cette formule permet de définir des processus de Markov réversibles de type Gibbs–Glauber pour intégrer des mesures de Feynman–Kac sur des espaces de trajectoires. Notre étude présente aussi de nouveaux développement de Taylor par rapport à la taille des systèmes de particules du semi-groupe de ces processus autour de leur mesure d'équilibre. Ces résultats étendent les travaux récents d'Andrieu, Doucet and Holenstein [1]. En particulier, nous obtenons une vitesse de convergence à l'équilibre liée au rapport entre longueurs des trajectoires et taille des systèmes de particules. La preuve de ces résultats est fondée sur une représentation fonctionnelle et combinatoire des lois de modèles particulaires de type Feynman–Kac ayant une trajectoire ancestrale fixée. Nous en donnons une illustration dans le cadre des méthodes de Monte Carlo quantiques.
This Note and its extended version [10] present a new duality formula between genetic type genealogical tree based particle models and Feynman–Kac measures on path spaces. Among others, this formula allows us to design reversible Gibbs–Glauber Markov chains for Feynman–Kac integration on path spaces. Our approach yields new Taylor series expansions of the particle Gibbs–Glauber semigroup around its equilibrium measure w.r.t. the size of the particle system, generalizing the recent work of Andrieu, Doucet, and Holenstein [1]. We analyze the rate of convergence to equilibrium in terms of the ratio of the length of the trajectories to the number of particles. The analysis relies on a tree-based functional and combinatorial representation of a class of Feynman–Kac particle models with a frozen ancestral line. We illustrate the impact of these results in the context of Quantum and Diffusion Monte Carlo methods.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2015__353_5_465_0,
author = {Del Moral, Pierre and Kohn, Robert and Patras, Fr\'ed\'eric},
title = {A duality formula for {Feynman{\textendash}Kac} path particle models},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {465--469},
publisher = {Elsevier},
volume = {353},
number = {5},
year = {2015},
doi = {10.1016/j.crma.2015.02.008},
language = {en},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.02.008/}
}
TY - JOUR AU - Del Moral, Pierre AU - Kohn, Robert AU - Patras, Frédéric TI - A duality formula for Feynman–Kac path particle models JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2015 SP - 465 EP - 469 VL - 353 IS - 5 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.02.008/ DO - 10.1016/j.crma.2015.02.008 LA - en ID - CRMATH_2015__353_5_465_0 ER -
%0 Journal Article %A Del Moral, Pierre %A Kohn, Robert %A Patras, Frédéric %T A duality formula for Feynman–Kac path particle models %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2015 %P 465-469 %V 353 %N 5 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.02.008/ %R 10.1016/j.crma.2015.02.008 %G en %F CRMATH_2015__353_5_465_0
Del Moral, Pierre; Kohn, Robert; Patras, Frédéric. A duality formula for Feynman–Kac path particle models. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 5, pp. 465-469. doi : 10.1016/j.crma.2015.02.008. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2015.02.008/
[1] Particle Markov chain Monte Carlo methods (with discussion), J. R. Stat. Soc., Ser. B, Stat. Methodol., Volume 72 (2010) no. 3, pp. 1-269
[2] A pedagogical introduction to quantum Monte Carlo (Defranceschi, M.; Le Bris, C., eds.), Mathematical Models and Methods for Ab Initio Quantum Chemistry, Lecture Notes in Chemistry, Springer, 2000
[3] Quantum Monte Carlo simulations of fermions: a mathematical analysis of the fixed-node approximation, Math. Models Methods Appl. Sci., Volume 16 (2006) no. 9, pp. 1403-1440
[4] Inference in Hidden Markov Models, Springer-Verlag, 2005
[5] An introduction to particle methods in finance, Numerical Methods in Finance, Proceedings in Mathematics, No. XVII, vol. 12, Springer, New York, 2012, pp. 33-49
[6] A sharp first-order analysis of Feynman–Kac particle models, 2014 | arXiv
[7] (Probability and Its Applications), Springer-Verlag, New York (2004), p. 573
[8] Mean Field Simulation for Monte Carlo Integration, Monographs on Statistics & Applied Probability, Chapman & Hall, 2013
[9] Coalescent tree based functional representations for some Feynman–Kac particle models, Ann. Appl. Probab., Volume 19 (2009) no. 2, pp. 1-50
[10] On particle Gibbs Markov chain Monte Carlo models, 2014 | arXiv
[11] Feynman–Kac particle integration with geometric interacting jumps, Stoch. Anal. Appl., Volume 31 (2013) no. 5, pp. 830-871 (preprint 2012) | arXiv
[12] Sequential Monte Carlo Methods in Practice (Doucet, A.; de Freitas, J.F.G.; Gordon, N.J., eds.), Springer-Verlag, New York, 2001
[13] Diffusion Monte Carlo method: numerical analysis in a simple case, Math. Model. Numer. Anal., Volume 41 (2007), pp. 189-213
[14] Free Energy Computations: A Mathematical Perspective, Imperial College Press, London, 2010
[15] Computation of free energy differences through non-equilibrium stochastic dynamics: the reaction coordinate case, Chin. J. Comput. Phys., Volume 222 (2007) no. 2, pp. 624-643
[16] On the control of an interacting particle approximation of Schrödinger ground states, SIAM J. Math. Anal., Volume 38 (2006), pp. 824-844
Cité par Sources :
