On a conjecture of Lionel Schwartz about the eigenvalues of Lannes' T-functor

Hai, Nguyen Dang Ho

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 353 (2015) no. 3, pp. 197-202.

Étant donné un nombre premier p, on note Kred(U) le groupe de Grothendieck engendré par les classes d'isomorphisme de modules réduits injectifs indécompsables de la catégorie des modules instable sur l'algèbre de Steenrod modulo p. On note Knred(U), n∈N, le sous-groupe de Kred(U) engendré par les facteurs indécomposables de H⁎B(Z/p)n. On décrit dans cette note une stratégie pour démontrer la conjecture suivante due à Lionel Schwartz : l'opérateur induit par le foncteur T de Lannes sur l'espace vectoriel rationnel Q⊗ZKnred(U) est diagonalisable et a pour valeurs propres 1,p,…,pn−1,pn de multiplicités pn−pn−1,pn−1−pn−2,…,p−1,1, respectivement.

Given a prime p, let Kred(U) denote the Grothendieck group generated by the isomorphism classes of indecomposable injective reduced modules in the category of unstable modules over the mod p Steenrod algebra. Let Knred(U), n∈N, denote the subgroup of Kred(U) generated by the indecomposable summands of H⁎B(Z/p)n. We describe in this note a strategy for the proof of the following conjecture of Lionel Schwartz: the operator induced by Lannes' T-functor on the rational vector space Q⊗ZKnred(U) is diagonalizable and has eigenvalues 1,p,…,pn−1,pn with multiplicities pn−pn−1,pn−1−pn−2,…,p−1,1, respectively.

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