The elementary symmetric functions of a reciprocal polynomial sequence

Luo, Yuanyuan; Hong, Shaofang; Qian, Guoyou; Wang, Chunlin

doi:10.1016/j.crma.2014.02.002

Number theory

The elementary symmetric functions of a reciprocal polynomial sequence
[Les fonctions symétriques élémentaires des suites d'inverses de valeurs de polynômes]

Présenté par : the Editorial Board

Luo, Yuanyuan ¹ ; Hong, Shaofang ¹ ; Qian, Guoyou ² ; Wang, Chunlin ¹

¹ Mathematical College, Sichuan University, Chengdu 610064, PR China
² Center for Combinatorics, Nankai University, Tianjin 300071, PR China

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 4, pp. 269-272.

Résumé
Abstract

Erdös et Niven ont démontré en 1946 que, pour tous entiers positifs m et d, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers positifs n pour lesquels au moins une des fonctions symétriques élémentaires des nombres $1 / m, 1 / (m + d), \dots, 1 / (m + (n - 1) d)$ est entière. Récemment, Wang et Hong ont raffiné ce résultat en montrant que, si $n ⩾ 4$ , alors aucune des fonctions symétriques élémentaires des nombres $1 / m, 1 / (m + d), \dots, 1 / (m + (n - 1) d)$ n'est entière, pour tous entiers positifs m et d. Soit f un polynôme de degré au moins 2 et à coefficients entiers positifs ou nuls. Nous établissons dans cette Note qu'aucune des fonctions symétriques élémentaires des nombres $1 / f (1), 1 / f (2), \dots, 1 / f (n)$ n'est entière, sauf si $f (x) = x^{m}$ avec $m ⩾ 2$ entier et $n = 1$ .

Erdös and Niven proved in 1946 that for any positive integers m and d, there are at most finitely many integers n for which at least one of the elementary symmetric functions of $1 / m, 1 / (m + d), \dots, 1 / (m + (n - 1) d)$ are integers. Recently, Wang and Hong refined this result by showing that if $n ⩾ 4$ , then none of the elementary symmetric functions of $1 / m, 1 / (m + d), \dots, 1 / (m + (n - 1) d)$ is an integer for any positive integers m and d. Let f be a polynomial of degree at least 2 and of nonnegative integer coefficients. In this paper, we show that none of the elementary symmetric functions of $1 / f (1), 1 / f (2), \dots, 1 / f (n)$ is an integer except for $f (x) = x^{m}$ with $m ⩾ 2$ being an integer and $n = 1$ .

Reçu le : 2014-01-08
Accepté le : 2014-02-04
Publié le : 2014-02-24

DOI : 10.1016/j.crma.2014.02.002

Affiliations des auteurs :

Luo, Yuanyuan ¹ ; Hong, Shaofang ¹ ; Qian, Guoyou ² ; Wang, Chunlin ¹

¹ Mathematical College, Sichuan University, Chengdu 610064, PR China
² Center for Combinatorics, Nankai University, Tianjin 300071, PR China

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Luo, Yuanyuan; Hong, Shaofang; Qian, Guoyou; Wang, Chunlin. The elementary symmetric functions of a reciprocal polynomial sequence. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 4, pp. 269-272. doi : 10.1016/j.crma.2014.02.002. https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2014.02.002/

Bibliographie
Cité par

[1] Chen, Y.; Tang, M. On the elementary symmetric functions of $1, 1 / 2, \dots, 1 / n$ , Amer. Math. Monthly, Volume 119 (2012), pp. 862-867

[2] Erdös, P.; Niven, I. Some properties of partial sums of the harmonic series, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 52 (1946), pp. 248-251

[3] Koblitz, N. p-Adic Numbers, p-Adic Analysis and Zeta Functions, Grad. Texts Math., vol. 58, Springer-Verlag, New York, 1984

[4] Wang, C.; Hong, S. On the integrality of the elementary symmetric functions of $1, 1 / 3, \dots, 1 / (2 n - 1)$ , Math. Slovaca (2014) (in press)

[5] Wang, C.; Hong, S. The elementary symmetric functions of reciprocal arithmetic progressions | arXiv

Cité par Sources :