Analyse mathématique
Sur la répartition des puissances modulo 1

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 5, pp. 383-385.

L'ensemble des x>1 tels que (xn) (n=1,2,…) n'est pas équidistribué modulo 1, qui est de mesure nulle, est de dimension 1. Cela découle du fait suivant : quelle que soit la suite (bn) dans [0,1[, et ε>0, l'ensemble des x tels que xn est ε-proche de bn modulo 1 à partir d'un certain rang a pour dimension 1. Mais cet ensemble, limité à un intervalle [1,X], a une dimension qui dépend de ε et de X. C'est l'objet de quelques propositions et d'une question ouverte.

For almost all x>1, (xn) (n=1,2,…) is equidistributed modulo 1, a classical result. What can be said on the exceptional set? It has Hausdorff dimension one. Much more: given an (bn) in [0,1[ and ε>0, the x-set such that |xn−bn|<ε modulo 1 for n large enough has dimension 1. However, its intersection with an interval [1,X] has a dimension <1, depending on ε and X. Some results are given and a question is proposed.

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DOI : 10.1016/j.crma.2013.12.014 
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Kahane, Jean-Pierre. Sur la répartition des puissances modulo 1. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 5, pp. 383-385. doi : 10.1016/j.crma.2013.12.014. https://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2013.12.014/

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