Une remarque sur les sous-espaces complémentés de ${\mathit{VB}}^p(\mu ,X)$

Daher, Mohammad

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 352 (2014) no. 1, pp. 43-49.

Soient $(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$ un espace de probabilité et X un espace de Banach. On montre que les espaces X et $L^p(\mu ,X)$ sont complémentés dans $X^{⁎⁎}$ et ${\mathit{VB}}^p(\mu ,X)$, respectivement, si et seulement si $L^p(\mu ,X)$ est complémenté dans son bidual, $1⩽p<\infty$. Si $p=\infty$, il faut considérer $L^{\infty }(\mu )\widehat{\stackrel{ˆ}{\otimes }}X$ au lieu de $L^{\infty }(\mu ,X)$.

Dans la suite, on suppose que X contient une copie de $c_0$. En construisant une copie convenable de ${\ell }^{\infty }$ dans ${\mathit{VB}}^p(\mu ,X)$ lorsque μ est sans atome, on montre que $L^p(\mu ,X)$ nʼest pas complémenté dans ${\mathit{VB}}^p(\mu ,X)$, $1⩽p⩽\infty$.

Soit E le sous espace fermé de $L^{\infty }(\mu ,X)$ définissant des opérateurs : $L^1(\mu )/Z\to X$, où Z est un sous espace fermé de $L^1(\mu )$. On construit une copie de ${\ell }^{\infty }$ dans E lorsque $Z^{\perp }$ nʼest pas isomorphe à un espace de Hilbert. On en déduit que, si de plus $Z^{\perp }$ ne contient pas de copie de $c_0$, lʼespace $Z^{\perp }\widehat{\stackrel{ˆ}{\otimes }}X$ nʼest pas complémenté dans E.

Les deux premiers résultats sont connus pour $p=1$, en remplaçant ${\mathit{VB}}^1(\mu ,X)$ par sa copie isométrique $\mathit{cabv}(\mu ,X)$.

Let $(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$ be a probability space and X a Banach space. We first show that X and $L^p(\mu ,X)$ are complemented in $X^{⁎⁎}$ and ${\mathit{VB}}^p(\mu ,X)$, respectively, if and only if $L^p(\mu ,X)$ is complemented in its bidual, $1⩽p<\infty$. If $p=\infty$, one considers $L^{\infty }(\mu )\widehat{\stackrel{ˆ}{\otimes }}X$ instead of $L^{\infty }(\mu ,X)$.

We now assume that X contains a copy of $c_0$. By constructing a suitable copy of ${\ell }^{\infty }$ in ${\mathit{VB}}^p(\mu ,X)$ if μ is atomless, we show that $L^p(\mu ,X)$ is not complemented in ${\mathit{VB}}^p(\mu ,X)$, $1⩽p⩽\infty$.

Let E be the closed subspace of $L^{\infty }(\mu ,X)$ defining operators: $L^1(\mu )/Z\to X$, where Z is a closed subspace of $L^1(\mu )$. We construct a copy of ${\ell }^{\infty }$ in E when $Z^{\perp }$ is not isomorphic to a Hilbert space. We deduce that, if moreover $Z^{\perp }$ contains no copy of $c_0$, the subspace $Z^{\perp }\widehat{\stackrel{ˆ}{\otimes }}X$ is not complemented in E.

The first two results are known for $p=1$, replacing ${\mathit{VB}}^1(\mu ,X)$ by its isometric copy $\mathit{cabv}(\mu ,X)$.

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