[La fonction de Minkowski et le problème de Salem]
R. Salem (Trans. Amer. Math. Soc. 53 (3) (1943) 427–439) demande si la transformée de Fourier–Stieltjes de la fonction point dʼinterrogation de Minkowski sʼannule à lʼinfini. Dans cette Note nous présentons plusieurs approches afin de résoudre cette question. Nous montrons par exemple que cette transformée satisfait des équations fonctionnelles discrètes et entières. Ainsi, nous conjecturons une réponse positive au problème de Salem. À la fin de cette Note, nous montrons quʼune tentative récente pour répondre à cette question (S. Yakubovich, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 349 (11–12) (2011) 633–636) est en fait incorrecte.
R. Salem (Trans. Amer. Math. Soc. 53 (3) (1943) 427–439) asked whether the Fourier–Stieltjes transform of the Minkowski question mark function vanishes at infinity. In this Note we present several possible approaches towards the solution. For example, we show that this transform satisfies integral and discrete functional equations. Thus, we expect the affirmative answer to Salemʼs problem. At the end of this Note we show that a recent attempt to settle this question (S. Yakubovich, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 349 (11–12) (2011) 633–636) is fallacious.
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Alkauskas, Giedrius. The Minkowski $ ?(x)$ function and Salemʼs problem. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 350 (2012) no. 3-4, pp. 137-140. doi : 10.1016/j.crma.2012.01.012. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2012.01.012/
[1] The moments of Minkowski question mark function: the dyadic period function, Glasgow Math. J., Volume 52 (2010) no. 1, pp. 41-64
[2] On some singular monotonic functions which are strictly increasing, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 53 (1943) no. 3, pp. 427-439
[3] N. Temme, Asymptotics of the integral , preprint.
[4] A Treatise on the Theory of Bessel Function, Cambridge University Press, 1995 (reprint of the second (1944) edition)
[5] The Fourier–Stieltjes transform of Minkowskiʼs function and an affirmative answer to Salemʼs problem, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 349 (2011) no. 11–12, pp. 633-636
[6] Trigonometric Series, vols. I, II, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 1988 (reprint of the 1979 edition)
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