[Une méthode de décomposition de domaine à deux niveaux robuste pour les systèmes dʼEDPs]
Un moyen efficace pour obtenir des méthodes de décomposition de domaine extensibles ( « scalable » en anglais) est lʼutilisation dʼune grille grossière. Cependant, lorsque les coefficients des équations présentent de grandes hétérogénéités, les méthodes usuelles tombent en défaut, surtout dans le cas des systèmes. Nous introduisons ici, au niveau variationnel, une grille grossière robuste même en présence de telles discontinuités. Pour cela, nous résolvons des problèmes aux valeurs propres généralisés locaux qui isolent les composantes de la solution nuisant à la convergence. Nous présentons un résultat théorique général puis quelques résultats numériques pour un problème dʼélasticité à coefficients discontinus.
Coarse spaces are instrumental in obtaining scalability for domain decomposition methods. However, it is known that most popular choices of coarse spaces perform rather weakly in presence of heterogeneities in the coefficients in the partial differential equations, especially for systems. Here, we introduce in a variational setting a new coarse space that is robust even when there are such heterogeneities. We achieve this by solving local generalized eigenvalue problems which isolate the terms responsible for slow convergence. We give a general theoretical result and then some numerical examples on a heterogeneous elasticity problem.
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Spillane, Nicole; Dolean, Victorita; Hauret, Patrice; Nataf, Frédéric; Pechstein, Clemens; Scheichl, Robert. A robust two-level domain decomposition preconditioner for systems of PDEs. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 23-24, pp. 1255-1259. doi : 10.1016/j.crma.2011.10.021. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.10.021/
[1] V. Dolean, F. Nataf, R. Scheichl, N. Spillane, Analysis of a two-level Schwarz method with coarse spaces based on local Dirichlet-to-Neumann maps, 2011, submitted for publication, . | HAL
[2] Y. Efendiev, J. Galvis, R. Lazarov, J. Willems, Robust domain decomposition preconditioners for abstract symmetric positive definite bilinear forms, RICAM report, 2011.
[3] FreeFem++ http://www.freefem.org/ff++/ (Laboratoire J.L. Lions, CNRS UMR 7598)
[4] Domain decomposition methods in computational mechanics, Comput. Mech. Adv., Volume 1 (1994) no. 2, pp. 121-220
[5] A coarse space construction based on local Dirichlet to Neumann maps, 2011 (SISC) | HAL
[6] C. Pechstein, R. Scheichl, Weighted Poincaré inequalities, Tech. Report NuMa-Report 2010-10, Institute of Computational Mathematics, Johannes Kepler University, Linz, December 2010, submitted for publication.
[7] Domain Decomposition Methods: Algorithms and Theory, Springer, 2005
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