Nonlinear Saint-Venant compatibility conditions for nonlinearly elastic plates

Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Sorin

doi:10.1016/j.crma.2011.10.019

Mathematical Problems in Mechanics

Nonlinear Saint-Venant compatibility conditions for nonlinearly elastic plates
[Conditions non linéaires de compatibilité de Saint-Venant pour des plaques non linéairement élastiques]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Ciarlet, Philippe G.¹ ; Mardare, Sorin ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire de mathématiques Raphaël-Salem, université de Rouen, avenue de lʼuniversité, 76801 Saint-Etienne-du-Rouvray, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 23-24, pp. 1297-1302.

Résumé
Abstract

Soit ω un domaine plan simplement connexe. On donne des conditions non linéaires de compatibilité du type de Saint-Venant, nécessaires et suffisantes pour que, étant donné deux champs $(E_{α β})$ et $(F_{α β})$ de matrices symétriques dont les éléments sont dans $L^{2} (ω)$ , il existe un champ de vecteurs ${(η_{i})}_{i = 1}^{3}$ avec des composantes $η_{1}, η_{2} \in H^{1} (ω)$ et $η_{3} \in H^{2} (ω)$ tel que $\frac{1}{2} (\partial_{α} η_{β} + \partial_{β} η_{α} + \partial_{α} η_{3} \partial_{β} η_{3}) = E_{α β}$ et $\partial_{α β} η_{3} = F_{α β}$ dans ω pour $α, β = 1, 2$ , les membres de gauche de ces équations apparaissant naturellement dans la théorie des plaques non linéairement élastiques. Un tel champ de vecteurs $η = (η_{i})$ étant défini de façon unique sʼil appartient à un sous-espace fermé $V^{0} (ω)$ particulier de $H^{1} (ω) \times H^{1} (ω) \times H^{2} (ω)$ , on étudie les propriétés de continuité de lʼapplication non linéaire $(E, F) \in (L^{2} {(ω))}^{4} \times (L^{2} {(ω))}^{4} \to η \in V^{0} (ω)$ définie de cette façon.

Let ω be a simply-connected planar domain. We give necessary and sufficient nonlinear compatibility conditions of Saint-Venant type guaranteeing that, given two $2 \times 2$ symmetric matrix fields $(E_{α β})$ and $(F_{α β})$ with components in $L^{2} (ω)$ , there exists a vector field ${(η_{i})}_{i = 1}^{3}$ with components $η_{1}, η_{2} \in H^{1} (ω)$ and $η_{3} \in H^{2} (ω)$ such that $\frac{1}{2} (\partial_{α} η_{β} + \partial_{β} η_{α} + \partial_{α} η_{3} \partial_{β} η_{3}) = E_{α β}$ and $\partial_{α β} η_{3} = F_{α β}$ in ω for $α, β = 1, 2$ , the left-hand sides of these equations arising naturally in nonlinearly elastic plate theory. Such a vector field $η = (η_{i})$ being uniquely defined if it belongs to a particular closed subspace $V^{0} (ω)$ of $H^{1} (ω) \times H^{1} (ω) \times H^{2} (ω)$ , we study the continuity properties of the nonlinear mapping $(E, F) \in (L^{2} {(ω))}^{4} \times (L^{2} {(ω))}^{4} \to η \in V^{0} (ω)$ defined in this fashion.

Accepté le : 2011-10-20
Publié le : 2011-11-09

DOI : 10.1016/j.crma.2011.10.019

Affiliations des auteurs :

Ciarlet, Philippe G. ¹ ; Mardare, Sorin ²

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Ciarlet, Philippe G.; Mardare, Sorin. Nonlinear Saint-Venant compatibility conditions for nonlinearly elastic plates. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 23-24, pp. 1297-1302. doi : 10.1016/j.crma.2011.10.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.10.019/

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