Asymptotic results for the linear parameter estimate in partially linear additive regression model

Chokri, Khalid; Louani, Djamal

doi:10.1016/j.crma.2011.09.010

Statistics

Asymptotic results for the linear parameter estimate in partially linear additive regression model
[Résultats asymptotiques pour lʼestimateur du paramètre linéaire dans le modèle de régression additif partiellement linéaire]

Présenté par : Paul Deheuvels

Chokri, Khalid ^1,² ; Louani, Djamal ^1,²

¹ L.S.T.A., Université de Paris 6, 4, place de Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France
² L.S.T.A., Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 19-20, pp. 1105-1109.

Résumé
Abstract

Cette Note est consacrée à lʼétude de la partie linéaire du modèle de la régression partiellement linéaire défini par $Y_{i} = Z_{i}^{⊤} β + \sum_{j = 1}^{d} m_{j} (X_{i j}) + ε_{i}$ , $1 ⩽ i ⩽ n$ , où $Z_{i} = {(Z_{i 1}, \dots, Z_{i p})}^{⊤}$ , $X_{i} = {(X_{i 1}, \dots, X_{i d})}^{⊤}$ sont des vecteurs de variables explicatives, $β = {(β_{1}, \dots, β_{p})}^{⊤}$ est un vecteur de paramèters inconnus, $m_{1}, \dots, m_{d}$ sont des fonctions réelles univariées inconnues, et $ε_{1}, \dots, ε_{n}$ sont les erreurs de modélisation supposées indépendantes de moyennes nulles et de variances finies. En utilisant la méthode du noyau accompagnée de la méthode dʼintégration marginale pour estimer les fonctions ${(m_{j})}_{1 ⩽ j ⩽ d}$ et le critère des moindres carrés pour estimer le paramètre β, nous établissons la normalité asymptotique et la loi du logarithme itéré pour lʼestimateur $\hat{β}$ de β.

In this Note, we study the linear part of the semi-parametric regression model defined by $Y_{i} = Z_{i}^{⊤} β + \sum_{j = 1}^{d} m_{j} (X_{i j}) + ε_{i}$ , $1 ⩽ i ⩽ n$ , where $Z_{i} = {(Z_{i 1}, \dots, Z_{i p})}^{⊤}$ , $X_{i} = {(X_{i 1}, \dots, X_{i d})}^{⊤}$ are vectors of explanatory variables, $β = {(β_{1}, \dots, β_{p})}^{⊤}$ is a vector of unknown parameters, $m_{1}, \dots, m_{d}$ are unknown univariate real functions, and $ε_{1}, \dots, ε_{n}$ are independent random modelling errors with mean zero and finite variances. Using the nonparametric kernel technique combined with the marginal integration method to estimate the functions ${(m_{j})}_{1 ⩽ j ⩽ d}$ and the least-square error criterion to estimate the parameter β, we establish the asymptotic normality together with the iterated logarithm law of the estimate $\hat{β}$ of β.

Reçu le : 2011-06-23
Accepté le : 2011-09-14
Publié le : 2011-10-01

DOI : 10.1016/j.crma.2011.09.010

Affiliations des auteurs :

Chokri, Khalid ^{1, 2} ; Louani, Djamal ^{1, 2}

¹ L.S.T.A., Université de Paris 6, 4, place de Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France
² L.S.T.A., Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

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Chokri, Khalid; Louani, Djamal. Asymptotic results for the linear parameter estimate in partially linear additive regression model. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 19-20, pp. 1105-1109. doi : 10.1016/j.crma.2011.09.010. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.09.010/

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