Reflection coupling and Wasserstein contractivity without convexity

Eberle, Andreas

doi:10.1016/j.crma.2011.09.003

Probability Theory

Reflection coupling and Wasserstein contractivity without convexity
[Couplage de réflection et contractivité de Wasserstein sans convexité]

Présenté par : the Editorial Board

Eberle, Andreas ¹

¹ University of Bonn, Institute for Applied Mathematics, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 19-20, pp. 1101-1104.

Résumé
Abstract

On considére diffusions de Langevin sur $R^{d}$ dans un potentiel U non convex dans un ensemble borné. A lʼaide du couplage de réflection, on observe que ces diffusions sont des contractions pour la distance de Kantorovich–Rubinstein–Wasserstein basée sur une distance concave appropriée, équivalente à la distance Euclidienne. Le choix de la distance est optimisé pour obtenir un grand taux de décroissance exponentielle. Les résultats impliquent bornes optimales pour $R, L \in [0, \infty)$ et $K \in (0, \infty)$ , indépendamment de la dimension, sous la condition que $(x - y) \cdot (\nabla U (x) - \nabla U (y))$ est borné inférieurement par $- L {| x - y |}^{2}$ pour $| x - y | < R$ et par $K {| x - y |}^{2}$ pour $| x - y | ⩾ R$ .

We note that even if convexity of the potential U fails locally, overdamped Langevin diffusions in $R^{d}$ are contractions w.r.t. the Kantorovich–Rubinstein-Wasserstein distance based on an appropriately chosen concave distance function equivalent to the Euclidean distance. The choice of the distance function is then optimized to obtain a large exponential decay rate. The results yield dimension-independent bounds of optimal order in $R, L \in [0, \infty)$ and $K \in (0, \infty)$ if $(x - y) \cdot (\nabla U (x) - \nabla U (y))$ is bounded from below by $- L {| x - y |}^{2}$ for $| x - y | < R$ and by $K {| x - y |}^{2}$ for $| x - y | ⩾ R$ .

Reçu le : 2011-07-16
Accepté le : 2011-09-02
Publié le : 2011-10-01

DOI : 10.1016/j.crma.2011.09.003

Affiliations des auteurs :

Eberle, Andreas ¹

¹ University of Bonn, Institute for Applied Mathematics, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn, Germany

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Eberle, Andreas. Reflection coupling and Wasserstein contractivity without convexity. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 19-20, pp. 1101-1104. doi : 10.1016/j.crma.2011.09.003. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.09.003/

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