Soit K un corps équipé dʼun endomorphisme σ. Dans cette Note, nous utilisons la théorie de Galois aux différences pour donner un critère dʼindépendance algébrique pour les solutions de σ-équations du premier ordre. Ce résultat nous permet de caractériser les solutions hyperalgébriques de ces σ-équations lorsque K est muni dʼune dérivation Δ telle que , où p est une -constante qui nʼest pas une racine de lʼunité. Nous en déduisons, dans le cas de lʼopérateur de Mahler, une preuve galoisienne dʼun théorème dʼhypertranscendance de Ke. Nishioka.
Let K be a field equipped with an endomorphism σ. In this Note, we use difference Galois theory to give an algebraic independence criterion for solutions of first order σ-equations. This result allows us to characterize the hyperalgebraic solutions of such σ-equations when K is endowed with a derivation Δ such that , where p is a -constant which is not a root of unity. We deduce from this theorem, in the setting of the Mahler operator, a galoisian proof of a hypertranscendency theorem of Ke. Nishioka.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2011__349_17-18_943_0,
author = {Nguyen, Pierre},
title = {Hypertranscendance de fonctions de {Mahler} du premier ordre},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {943--946},
publisher = {Elsevier},
volume = {349},
number = {17-18},
year = {2011},
doi = {10.1016/j.crma.2011.08.021},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.08.021/}
}
TY - JOUR AU - Nguyen, Pierre TI - Hypertranscendance de fonctions de Mahler du premier ordre JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2011 SP - 943 EP - 946 VL - 349 IS - 17-18 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.08.021/ DO - 10.1016/j.crma.2011.08.021 LA - fr ID - CRMATH_2011__349_17-18_943_0 ER -
%0 Journal Article %A Nguyen, Pierre %T Hypertranscendance de fonctions de Mahler du premier ordre %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2011 %P 943-946 %V 349 %N 17-18 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.08.021/ %R 10.1016/j.crma.2011.08.021 %G fr %F CRMATH_2011__349_17-18_943_0
Nguyen, Pierre. Hypertranscendance de fonctions de Mahler du premier ordre. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 17-18, pp. 943-946. doi : 10.1016/j.crma.2011.08.021. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.08.021/
[1] Unipotent radicals of differential Galois group and integrals of solutions of inhomogeneous equations, Math. Ann., Volume 321 (2001), pp. 645-666
[2] Difference Algebra, Interscience, New York, 1965
[3] Hypertranscendance et groupes de Galois aux différences, 2006 | arXiv
[4] Differential Galois theory of linear differential equations, Math. Ann., Volume 342 (2003) no. 2, pp. 257-276
[5] Hypertranscendency of meromorphic solutions of a linear functional equation, Aeq. Math., Volume 56 (1998) no. 3, pp. 271-283
[6] On the algebraic independence of holomorphic solutions of certain function equations and their values, Math. Ann., Volume 227 (1977), pp. 9-50
[7] A note on differentially algebraic solutions of first order linear difference equations, Aeq. Math., Volume 27 (1984), pp. 32-48
[8] Tannakian approach to linear differential algebraic groups, Transformation Groups, Volume 13 (2008) no. 2, pp. 413-446
[9] Galois Theory of Difference Equations, Lecture Notes in Math., vol. 1666, Springer, 1997
[10] M. Wibmer, Geometric difference Galois theory, thèse de lʼuniversité de Heidelberg, 2010.
Cité par Sources :
