Comment reconstituer un signal, assimilé à une fonction x définie sur le groupe cyclique , quʼon sait porté par T points, en nʼutilisant sa transformée de Fourier que sur un ensemble Ω de fréquences ? Le procédé indiqué par Candès (2006) [1], Candès, Romberg et Tao (2006) [2] est lʼextrapolation minimale de dans . La note traite les questions suivantes : 1) Quand est–il vrai que ce procédé redonne tous les signaux portés par T points ? 2) Si lʼon choisit Ω par sélection aléatoire de points de , N étant très grand, avec quelle probabilité obtient–on par ce procédé tous les signaux portés par T points ? 3) tous les signaux portés par un ensemble S donné ? 4) un signal donné ? Je donne des réponses à 1) et à 2) avec démonstrations, et à 3) sans démonstration. La réponse à 3) améliore les estimations de Candès, Romberg et Tao relatives à 4), la question quʼils traitent. Lʼidempotent K tel que joue un rôle central.
According to Candès (2006) [1], Candès, Romberg and Tao (2006) [2], a signal is represented as a function x defined on the cyclic group . Assuming that it is carried by a set S consisting of T points, how to reconstruct x by using only a small set Ω of frequencies? The procedure of Candès, Romberg and Tao is the minimal extrapolation of in , when it exists. 1) When can we obtain in this way all signals carried by T points? 2) Choosing Ω by a random selection of points in with N very large, give an estimate of the probability that the procedure works for all signals carried by T points 3) for all signals carried by a given set S 4) for a given signal. The answers to 1) and 2) are given with proofs and the answer to 3) without proof. Candès, Romberg and Tao answered question 4) and our answer to 3) improves their estimates. A key role is played by the idempotent K such that .
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Kahane, Jean-Pierre. Idempotents et échantillonnage parcimonieux. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 19-20, pp. 1073-1076. doi : 10.1016/j.crma.2011.08.015. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.08.015/
[1] Compressive sampling, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, 2006
[2] Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information, IEEE Transactions on Information Theory, Volume 20 (2006) no. 2, pp. 489-509
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