On présente dans cette Note une méthode efficace pour calculer une approximation de lʼespérance de la réponse dʼun problème elliptique unidimensionnel avec des entrées stochastiques. Dans les méthodes classiques, lʼeffort de calcul et le coût de lʼapproximation de la réponse, peuvent être exorbitants. La méthode présentée ici est basée sur la décomposition de Karhunen–Loève (K-L) de lʼinverse du paramètre de diffusion nous permettant de construire une base de variables aléatoires en nombre réduit et de calculer un projeté de la solution. Nous montrons que lʼespérance de ce projeté est une bonne approximation de celle de la réponse de notre problème, et on donne une estimation a priori de lʼerreur. Un exemple numérique est présenté pour montrer lʼefficacité de cette approche.
In this Note, we present an efficient method to approximate the expectation of the response of a one-dimensional elliptic problem with stochastic inputs. In conventional methods, the computational effort and cost of the approximation of the response can be dramatic. Our method presented here is based on the Karhunen–Loève (K-L) expansion of the inverse of the diffusion parameter, allowing us to build a base of random variables in reduced numbers, from which we construct a projected solution. We show that the expectation of this projected solution is a good approximation, and give an a priori error estimate. A numerical example is presented to show the efficiency of this approach.
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Erhel, Jocelyne; Mghazli, Zoubida; Oumouni, Mestapha. Calcul de lʼespérance de la solution dʼune EDP stochastique unidimensionnelle à lʼaide dʼune base réduite. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 15-16, pp. 861-865. doi : 10.1016/j.crma.2011.07.015. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.07.015/
[1] On solving linear elliptic stochastic partial differential equations, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Volume 191 (2002), pp. 4093-4122
[2] A stochastic collocation method for elliptic partial differential equations with random input data, SIAM J. Numer. Anal., Volume 43 (2007) no. 3, pp. 1005-1034
[3] Solving elliptic boundary value problems with uncertain coefficients by the finite element method, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Volume 194 (2005) no. 12–16, pp. 1251-1294
[4] Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications, Springer-Verlag, New York, 1996
[5] J. Charrier, Strong and weak error estimates for elliptic partial differential equations with random coefficients, 2010, submitted for publication.
[6] Stochastic Finite Elements: A Spectral Approach, Springer-Verlag, New York, 1991
[7] Probability Theory I, Graduate Texts in MathematicsProbability Theory II, Graduate Texts in Mathematics, vol. 45, Springer-Verlag, New York, 1977
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