Théorie des nombres/Géométrie algébrique
Minorations du nombre de classes des corps de fonctions algébriques définis sur un corps fini

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Ballet, Stéphane1 ; Rolland, Robert1
1 Institut de mathématiques de Luminy, case 930, 13288 Marseille cedex 9, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 13-14, pp. 709-712.

On donne des minorations du nombre de diviseurs effectifs de degré ⩽g−1 dʼun corps de fonctions algébriques en une variable de genre g⩾2 défini sur un corps fini Fq. On en déduit alors des minorations du nombre de classes, dépendant essentiellement du nombre de places dʼun certain degré r, qui améliorent les meilleures bornes inférieures connues dans de nombreux cas. De plus, nous montrons que toutes les familles de corps de fonctions algébriques en une variable ayant asymptotiquement (relativement au genre) un grand nombre de places dʼun certain degré r⩾1, possèdent un nombre de classe asymptotiquement grand dont nous donnons une estimation.

We give lower bounds for the number of effective divisors of degree ⩽g−1 of an algebraic function field of one variable of genus g⩾2 defined over a finite field. We deduce lower bounds for the class number, depending mainly on the number of places of a certain degree, which improve the best known lower bounds in many cases. Moreover, we prove that any family of algebraic function fields having asymptotically (with respect to the genus) a large number of places of a certain degree r⩾1, have a large asymptotical class number for which we give an estimate.

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DOI : 10.1016/j.crma.2011.06.016
Ballet, Stéphane 1 ; Rolland, Robert 1

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[1] Ballet, Stéphane; Rolland, Robert Families of curves over any finite field attaining the generalized Drinfeld–Vladut bound, Publ. Math. Univ. Franche-Comté Besançon Algèbr. Theor., Volume 5–18 (2011)

[2] Garcia, Arnaldo; Stichtenoth, Henning On tame towers over finite felds of Artin–Schreier extensions of function fields attaining the Drinfeld–Vladut bound, Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, Volume 557 (2003), pp. 53-80

[3] Garcia, Arnaldo; Stichtenoth, Henning; Rück, Hans-Georg A tower of Artin–Schreier extensions of function fields attaining the Drinfeld–Vladut bound, Inventiones Mathematicae, Volume 121 (1995), pp. 211-222

[4] Lachaud, Gilles; Martin-Deschamps, Mireille Nombre de points des jacobiennes sur un corps finis, Acta Arithmetica, Volume 56 (1990) no. 4, pp. 329-340

[5] Perret, Marc Number of points of Prym varieties over finite fields, Glasg. Math. J., Volume 48 (2006) no. 2, pp. 275-280

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