Une généralisation de la formule du triple produit de Jacobi et quelques applications

Brugidou, Vincent

doi:10.1016/j.crma.2011.03.003

Théorie des nombres/Analyse complexe

Une généralisation de la formule du triple produit de Jacobi et quelques applications

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Brugidou, Vincent ^1,²

¹ Laboratoire Paul-Painlevé, université de Lille 1, 59655 Villeneuve dʼAscq cedex, France
² IUT A de Lille 1, boulevard Paul-Langevin, BP 179, 59653 Villeneuve dʼAscq cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 7-8, pp. 361-364.

Résumé
Abstract

Si $A_{n} \neq 0$ pour tout $n \in Z$ , on montre que la série à 2 variables $Q (x, y) = \sum_{n \in Z} A_{n} x^{n} y^{n (n + 1) / 2}$ se factorise formellement en un triple produit infini qui généralise la formule de Jacobi. Soit $ρ_{o}$ la racine positive de $\sum_{k = 1}^{\infty} ρ^{k^{2}} = 1 / 2$ , on prouve la convergence de la factorisation de Q pour $x \in C^{⁎}$ et $| y | < ρ_{o}^{2} Ω^{- 1}$ avec $Ω = \sup_{n \in Z} | A_{n - 1} A_{n + 1} / A_{n}^{2} |$ . On en déduit que si $Ω < ρ_{o}^{2} = 0, 2078 \dots$ on peut calculer explicitement chaque zéro de la série de Laurent $f (x) = \sum_{n \in Z} A_{n} x^{n}$ comme la somme ou lʼinverse de la somme de séries dont les termes sont des expressions polynomiales des $A_{n - 1} A_{n + 1} / A_{n}^{2}$ . Si lʼinégalité précédente est large et $f (x)$ réelle, tous ses zéros sont réels. Une autre application consiste, lorsquʼon connait la factorisation en triple produit de $Q (x, y)$ par une autre voie que celle décrite dans la note, à les identifier. Ainsi avec la fonction theta de Jacobi, on a obtenu une identité nouvelle pour la somme des diviseurs $σ (n)$ dʼun entier.

If $A_{n} \neq 0$ for all $n \in Z$ , we show the series with 2 variables $Q (x, y) = \sum_{n \in Z} A_{n} x^{n} y^{n (n + 1) / 2}$ factorizes formally in an infinite triple product, which generalizes the Jacobiʼs formula. Let $ρ_{o}$ be the positive root of $\sum_{k = 1}^{\infty} ρ^{k^{2}} = 1 / 2$ , we prove the convergence of the factorization of Q for $x \in C^{⁎}$ and $| y | < ρ_{o}^{2} Ω^{- 1}$ with $Ω = \sup_{n \in Z} | A_{n - 1} A_{n + 1} / A_{n}^{2} |$ . We deduce that if $Ω < ρ_{o}^{2} = 0.2078 \dots$ each zero of the Laurent series $f (x) = \sum_{n \in Z} A_{n} x^{n}$ can be explicitly calculated as the sum or the inverse of the sum of series, whose terms are polynomial expressions of $A_{n - 1} A_{n + 1} / A_{n}^{2}$ . If the previous inequality is wide and $f (x)$ real, then all its zeros are real numbers. An other application is when you know the triple product factorization of $Q (x, y)$ by another way than described in the note, to identify them. So with the Jacobi theta function, we obtained a new identity for the sum of divisors $σ (n)$ of an integer.

Reçu le : 2010-12-04
Accepté le : 2011-03-08
Publié le : 2011-04-01

DOI : 10.1016/j.crma.2011.03.003

Affiliations des auteurs :

Brugidou, Vincent ^{1, 2}

¹ Laboratoire Paul-Painlevé, université de Lille 1, 59655 Villeneuve dʼAscq cedex, France
² IUT A de Lille 1, boulevard Paul-Langevin, BP 179, 59653 Villeneuve dʼAscq cedex, France

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Brugidou, Vincent. Une généralisation de la formule du triple produit de Jacobi et quelques applications. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 7-8, pp. 361-364. doi : 10.1016/j.crma.2011.03.003. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.03.003/

Bibliographie
Cité par

[1] Brugidou, V. A new method to determine the value or the reality of zeros for certain entire functions, J. Math. Pures Appl., Volume 94 (2010), pp. 244-276

[2] Hardy, G.H.; Wright, E.M. An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 1979

[3] Henrici, P. Applied and Computational Complex Analysis, vol. 1, John Wiley & Sons, 1974

Cité par Sources :