A class of Poisson structures compatible with the canonical Poisson structure on the cotangent bundle

Boucetta, Mohamed; Saassai, Zouhair

doi:10.1016/j.crma.2011.01.027

Differential Geometry

A class of Poisson structures compatible with the canonical Poisson structure on the cotangent bundle
[Une classe de structures de Poisson compatibles avec la structure de Poisson canonique sur le fibré cotangent]

Présenté par : Charles-Michel Marle

Boucetta, Mohamed ¹ ; Saassai, Zouhair ¹

¹ Université Cadi-Ayyad, Faculté des sciences et techniques Gueliz, BP 549, 40000 Marrakech, Morocco

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 5-6, pp. 331-335.

Résumé
Abstract

Soit M une variété différentiable munie dʼun tenseur de Poisson σ et dʼune métrique riemannienne g et soit $J = σ_{#} \circ #^{- 1}$ le tenseur de type $(1, 1)$ reliant σ à g. Il est connu que J se relève à $T^{⁎} M$ et définit un champ de bivecteur $Π_{J}$ qui est de Poisson et compatible avec la structure de Poisson canonique de $T^{⁎} M$ si la torsion de J est nulle. On considère la structure dʼalgébroide de Lie sur $T^{⁎} M$ associée à σ. Elle définit par dualité un tenseur de Poisson $Π_{σ}$ sur TM. Notons $Π_{σ}^{g}$ le tenseur de Poisson sur $T^{⁎} M$ image de $Π_{σ}$ par lʼisomorphisme musical associé à g. Nous montrons que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (a) $Π_{σ}^{g}$ est compatible avec la structure de Poisson canonique sur $T^{⁎} M$ , (b) $Π_{σ}^{g} = Π_{J}$ , (c) σ est parallèle par rapport à la connexion de Levi-Civita de g.

Nous donnerons une large classe dʼexemples illustrant cette situation.

Let M be a smooth manifold endowed with a Poisson tensor σ and a Riemannian metric g and let $J = σ_{#} \circ #^{- 1}$ be the $(1, 1)$ tensor field relating σ to g. It is well known that the complete lift of J defines a bivector field $Π_{J}$ on $T^{⁎} M$ which is a Poisson tensor compatible with canonical Poisson structure on $T^{⁎} M$ if J is torsionless. We consider the Lie algebroid structure on $T^{⁎} M$ associated to σ. It defines by duality a Poisson tensor $Π_{σ}$ on TM. Denote by $Π_{σ}^{g}$ the Poisson tensor on $T^{⁎} M$ pull-back of $Π_{σ}$ by the musical isomorphism associated to g. We show that the following three assertions are equivalent: (a) $Π_{σ}^{g}$ is compatible with the canonical Poisson structure on $T^{⁎} M$ , (b) $Π_{σ}^{g} = Π_{J}$ , (c) σ is parallel with respect to the Levi-Civita connection of g.

We give also a large class of examples illustrating this situation.

Reçu le : 2010-08-06
Accepté le : 2011-01-26
Publié le : 2011-02-09

DOI : 10.1016/j.crma.2011.01.027

Affiliations des auteurs :

Boucetta, Mohamed ¹ ; Saassai, Zouhair ¹

¹ Université Cadi-Ayyad, Faculté des sciences et techniques Gueliz, BP 549, 40000 Marrakech, Morocco

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Boucetta, Mohamed; Saassai, Zouhair. A class of Poisson structures compatible with the canonical Poisson structure on the cotangent bundle. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 5-6, pp. 331-335. doi : 10.1016/j.crma.2011.01.027. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.01.027/

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