Nous étudions un nouveau modèle scalaire aux propriétés similaires aux équations de Navier–Stokes (préservation du changement dʼéchelle, invariances par translation et dilatation, antisymétrie du terme bilinéaire) mais contenant un opérateur dʼintégrale singulière. Nous construisons une solution faible globale lorsque la donnée initiale est dans un espace de Morrey–Campanato critique : celle-ci vérifie une inégalité dʼénergie locale comparable à celle de Scheffer.
We discuss on a new scalar model whose properties are similar to the NS equations (it preserves scaling, the antisymmetry of the bilinear term and is invariant by translations and dilations) but contains a singular integral operator. We construct a global-in-time weak solution when initial data is in a critical Morrey–Campanato space and show that it also satisfies a local energy inequality comparable to Schefferʼs one.
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Lelièvre, Frédéric. Un modèle scalaire analogue aux équations de Navier–Stokes. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 7-8, pp. 411-416. doi : 10.1016/j.crma.2011.01.017. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2011.01.017/
[1] Existence of weak solutions for the Navier–Stokes equations with initial data in , Trans. Amer. Math. Soc., Volume 318 (1990) no. 1
[2] Remarks on the blow-up of solutions to a toy model for the Navier–Stokes equations, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 137 (2009) no. 6, pp. 2075-2083
[3] F. Lelièvre, Approximations des équations de Navier–Stokes préservant le changement dʼéchelle et lʼégalité dʼénergie, Thèse, univ. Evry, 2010.
[4] Weak infinite-energy solutions for the Navier–Stokes equations in , C. R. Acad. Sci. Sér. I (1999), pp. 1133-1138
[5] The Navier–Stokes equations in the critical Morrey–Campanato space, Rev. Mat. Iberoam., Volume 23 (2007), pp. 897-930
[6] Finite-time blow up for a Navier–Stokes like solution, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 129 (2001) no. 10, pp. 3025-3029
Cité par Sources :
