Number Theory
On fields of algebraic numbers with bounded local degrees
[Corps de nombres algébriques à degrés locaux bornés]

Présenté par : Christophe Soulé

Checcoli, Sara1 ; Zannier, Umberto2
1 Dipartimento di Matematica, Largo Bruno Pontecorvo, 5, 56127 Pisa, Italy
2 Scuola Normale Superiore di Pisa, Piazza dei Cavalieri, 7, 56126 Pisa, Italy
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 1-2, pp. 11-14.

Il est bien connu que si un corps K⊆Q¯ est contenu dans le compositum de toutes les extensions de Q de degré inférieur à d, alors il est à degrés locaux uniformément bornés. On se demande si la réciproque est vraie. On prouve facilement que c'est le cas si l'extension K est abélienne, mais cela n'est pas vrai dans le cas général, comme le montre un contre-exemple construit à partir d'une certaine famille de pq-groupes.

It is well known that if a field K⊆Q¯ is contained in the compositum of all extensions of Q of degree at most d, then it has uniformly bounded local degrees. One may ask whether the converse holds. The answer is easily seen to be affirmative if the extension K/Q is abelian, but we provide a counterexample to the general assertion. This is built up from a certain family of pq-groups.

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DOI : 10.1016/j.crma.2010.12.007
Checcoli, Sara 1 ; Zannier, Umberto 2

1 Dipartimento di Matematica, Largo Bruno Pontecorvo, 5, 56127 Pisa, Italy
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[1] Bombieri, E.; Zannier, U. A note on heights in certain infinite extensions of Q, Rend. Mat. Acc. Linc., Volume 12 (2001), pp. 5-14

[2] Doerk, K.; Hawkes, T. Finite Solvable Groups, De Gruyter, Berlin/New York, 1992

[3] Narkiewicz, W. Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer-Verlag, Berlin, 1990

[4] Neukirch, J.; Schmidt, A.; Wingberg, K. Cohomology of Number Fields, Grundl. Math. Wiss., vol. 323, Springer, 1999

[5] Serre, J.-P. Une « formule de masse » pour les extensions totalement ramifiées de degré donné d'un corps local, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 286 (1978), pp. 1031-1036

[6] Shafarevich, I.R. On p-extensions, AMS. Transl., Ser. 2, Volume 4 (1956), pp. 59-72

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