[Bases fortement nilpotentes et n-uplets des algèbres de Borel]
Une base (d'espace vectoriel) B d'une algèbre de Lie est dite fortement nilpotente si tous les crochets itérés des éléments de B sont nilpotents. Dans cette Note, on démontre une version améliorée du théorème d'Engel. On montre qu'une algèbre de Lie admet une base fortement nilpotente si et seulement si c'est une algèbre nilpotente. Lorsque est une algèbre de Lie semi-simple, ceci nous permet de définir un idéal de dont l'ensemble algèbrique associé dans est l'ensemble des n-uplets vivants dans une même sous-algèbre de Borel.
A (vector space) basis B of a Lie algebra is said to be very nilpotent if all the iterated brackets of elements of B are nilpotent. In this Note, we prove a refinement of Engel's Theorem. We show that a Lie algebra has a very nilpotent basis if and only if it is a nilpotent Lie algebra. When is a semisimple Lie algebra, this allows us to define an ideal of whose associated algebraic set in is the set of n-tuples lying in a same Borel subalgebra.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2011__349_3-4_149_0,
author = {Bulois, Micha\"el},
title = {Very nilpotent basis and \protect\emph{n}-tuples in {Borel} subalgebras},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {149--152},
publisher = {Elsevier},
volume = {349},
number = {3-4},
year = {2011},
doi = {10.1016/j.crma.2010.12.005},
language = {en},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.12.005/}
}
TY - JOUR AU - Bulois, Michaël TI - Very nilpotent basis and n-tuples in Borel subalgebras JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2011 SP - 149 EP - 152 VL - 349 IS - 3-4 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.12.005/ DO - 10.1016/j.crma.2010.12.005 LA - en ID - CRMATH_2011__349_3-4_149_0 ER -
%0 Journal Article %A Bulois, Michaël %T Very nilpotent basis and n-tuples in Borel subalgebras %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2011 %P 149-152 %V 349 %N 3-4 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.12.005/ %R 10.1016/j.crma.2010.12.005 %G en %F CRMATH_2011__349_3-4_149_0
Bulois, Michaël. Very nilpotent basis and n-tuples in Borel subalgebras. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 349 (2011) no. 3-4, pp. 149-152. doi : 10.1016/j.crma.2010.12.005. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.12.005/
[1] The variety of pairs of commuting nilpotent matrices is irreducible, Transform. Groups, Volume 6 (2001), pp. 3-8
[2] Nilpotent bicone and characteristic submodule in a reductive Lie algebra, Transform. Groups, Volume 14 (2009), pp. 319-360
[3] Principal nilpotent pairs in a semisimple Lie algebra I, Invent. Math., Volume 140 (2000), pp. 511-561
[4] Nilpotent commuting varieties of reductive Lie algebras, Invent. Math., Volume 154 (2003), pp. 653-683
[5] Lie Algebras and Algebraic Groups, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, 2005
Cité par Sources :
